Darbe.ru

Быт техника Дарби
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Можно ли вывести корень из отрицательного числа

Можно ли вывести корень из отрицательного числа

СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ,

СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ IV

§ 78. Корень п-й степени из отрицательного числаа

Теорема 1. Корней четной степени из отрицательного числа не существует.

Другими словами, уравнение

х 2k = — а (а > 0)

не имеет действительных корней.

Мы предлагаем учащимся доказать эту теорему самостоятельно.

Теорема 2. Существует и притом только один корень нечетной степени из отрицательного числам Этот корень отрицателен.

Другими словами, уравнение

х 2k+1 = — а (а > 0)

имеет единственный корень. Этот корень является отрицательным.

Доказательство. Прежде всего покажем, что корень нечетной степени 2k + 1 из отрицательного числа —а не может быть положительным. Если бы этот корень (обозначим его через b) был положительным, то в равенстве b 2k+1 = — а левая часть была бы положительной, а правая — отрицательной.

Теперь покажем, что отрицательный корень нечетной степени 2k + 1 из отрицательного числа — а существует.

Число а положительно, и потому оно имеет положительный корень степени 2k + 1 (теорема 1, § 76). Обозначим его через b.

b 2k+1 = а.

Отсюда вытекает, что

(—b) 2k+1 = —b 2k+1 = — а.

Но это и означает, что отрицательное число — b является корнем степени 2k + 1 из отрицательного числа — а.

Осталoсь лишь показать, что существует не более одного отрицательного корня нечетной степени 2k + 1 из числа — а.

Для доказательства предположим противнoе, т. е. что существует несколько таких корней. Пусть —b и —с — два таких корня. Тогда

(—b) 2k+1 = — а, (—c) 2k+1 = — а. (1)

Но так как число 2k + 1 нечетно, то (—b) 2k+1 = —b 2k+1 ; (—c) 2k+1 = —c 2k+1 . Поэтому из (1) следует, что

b 2k+1 = а, c 2k+1 = а.

А это, в свою очередь, означает, что положительное число а имеет два различных положительных корня степени 2k + 1: b и с; но это противоречит теореме 2, § 76.

Теорема полностью доказана. Объединяя теоремы 1 и 2, мы приходим к следующему выводу.

Корней четной степени из отрицательного числа не существует.

Существует ровно один корень нечетной степени из отрицательного числа. Этот корень является отрицательным.

Корней 4 √ —81 ; 100 √ —25 не существует; 5 √ — 32 = —2; 3 √ —125 = —5.

Упражнения

552. (У с т н о.) Какие из данных выражении не имеют смысла:

553. Найти области определения следующих функций:

а) у = √ x—1 ; г) у = 8 √ (х + 2)(х — 7) ;

б) у = 5 √ x—1 д) у = 6 √ х 2 + х + 1 ;

в) у = 12 √ 3х 2 +5х —2 е) у = 3 √ 3—x + 4 √ 5х —5 .

553. а) х > 1; б) множество всех действительных чисел; в) х < — 2 и х > 1 /3 ;

г) х <—2 и х > 7; д) множество всех действительных чисел; е) х > 1.

Читайте так же:
Можно ли запараллелить два аккумулятора

Можно ли под корнем отрицательное число?

В рамках действительных чисел корень из отрицательного числа извлечь нельзя, как нельзя построить квадрат отрицательной площади. В рамках действительных чисел это просто бессмыслица. Точно так же в рамках действительных чисел нельзя извлекать корни любой четной степени (а нечетной — можно).

Что делать если корень с минусом?

Если под корнем отрицательное число, то из под корня выходит. Число под корнем всегда или больше или = 0. Под корнем не может быть минуса.

Почему корень четной степени не может быть отрицательным?

Как сказано выше: «Корень чётной степени из отрицательного числа не существует в области вещественных чисел». При этом в области комплексных чисел такой корень существует. Поэтому следует всегда учитывать, в какой числовой системе (вещественных или комплексных чисел) мы извлекаем корень. не существует.

Что делает корень в математике?

КОРЕНЬ — 1. В математике – любое число, которое при умножении его на само себя данное число раз дает данный результат; например, 2 – второй (или квадратный) корень из 4, третий (или кубический) корень из 8, четвертый корень из 16 и т. д.

Что называется алгебраическим корнем?

Алгебраический корень. Абсолютная величина ( модуль ) числа. … Арифметическим корнем n–й степени из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, n–я степень которого равна a .

Чему будет равен корень из отрицательного числа?

В рамках действительных чисел корень из отрицательного числа извлечь нельзя, как нельзя построить квадрат отрицательной площади. В рамках действительных чисел это просто бессмыслица. Точно так же в рамках действительных чисел нельзя извлекать корни любой четной степени (а нечетной — можно).

Почему не существует квадратного корня из отрицательного числа?

нет, такого числа не существует, так как любое число в квадрате — положительное.

Почему корень из 4 не может быть отрицательным?

Квадратный корень из 4 — это сторона квадрата площади 4, то есть 2. Квадратный корень из 25 — это сторона квадрата площади 25, то есть 5. В рамках действительных чисел корень из отрицательного числа извлечь нельзя, как нельзя построить квадрат отрицательной площади.

Как квадрат может быть отрицательным?

Таким образом, значение квадрата любого отрицательного числа равно положительному числу. Квадрат положительного числа является числом положительным. Квадрат нуля равен нулю. Чтобы возвести в квадрат отрицательное число, можно возвести в квадрат противоположное ему число (знак «-» не писать).

Какая функция используется для нахождения квадратного корня?

Для нахождения квадратного корня из дискриминанта будет использована функция КОРЕНЬ.

Как вычислить квадратный корень?

Чтобы найти первую цифру корня, извлекают квадратный корень из первой грани. Чтобы найти вторую цифру, из первой грани вычитают квадрат первой цифры корня, к остатку сносят вторую грань и число десятков получившегося числа делят на удвоенную первую цифру корня; полученное целое число подвергают испытанию.

Читайте так же:
Как в ворде найти параметры страницы

Как написать корень с помощью клавиатуры?

На клавиатуре (в Windows) для него есть специальная комбинация клавиш: Alt+251. Набирать нужно на цифровом блоке с включённым Num Lock. Также, можно скопировать отсюда.

Что такое показатель корня?

Корень n-ой степени из числа a — это число, n-ая степень которого равна a. … Под чертой знака записывается подкоренное число, а над знаком, в левом верхнем углу, показатель корня: 2. √36.

Чем отличается корень от арифметического корня?

корень из числа а — это число, квадрат которого равен а, то есть это решение уравнения . … Арифметическим квадратным корнем из числа а называется НЕОТРИЦАТЕЛЬНОЕ число, квадрат которого равен а.

Что такое корневая система кратко?

Корневая система, или система корней, — конфигурация векторов в евклидовом пространстве, удовлетворяющая определённым геометрическим свойствам. … Совокупность корней математического уравнения.

Можно ли вывести корень из отрицательного числа

Квадратные уравнения в процессе решения разделяются на три категории.

1) Уравнения, при решении которых получается положительный дискриминант.

Такие квадратные уравнения имеют два различных действительных корня.

2) Уравнения с дискриминантом, равным нулю.

В этом случае высокообразованные школьные учителя говорят, что уравнение имеет один корень, но мы, простые люди, знающие следствие из основной теоремы алгебры, говорим, что это уравнение имеет два корня, просто они одинаковые. Иначе говоря, уравнение имеет один корень кратности два.

3) Уравнения, в которых дискриминант получается отрицательным.

Тут два пути:

а) вы школьник, тогда для вас это уравнение корней не имеет,

б) вы человек, знающий о мнимой единице, тогда это уравнение имеет, опять же, два корня, правда они комплексные.

Рассмотрим примеры на каждый тип.

1. Положительный дискриминант.

Решим квадратное уравнение

1) Предположим, что мы еще не знаем формул для корней уравнения и будем решать его, выделяя полный квадрат. Преобразования приводятся без комментариев, они аналогичны комментариям с предыдущего параграфа.

Итак, уравнение примет вид:

Ответ:

2) Решим это же уравнение с помощью формул для корней.

Выпишем значения коэффициентов:

Ответ:

Ответы одинаковые (само собой).

2. Дискриминант равен нулю.

Решим квадратное уравнение

1) Предположим, что мы еще не знаем формул для корней уравнения и будем решать это уравнение внимательно на него посмотрев. А если на него очень внимательно посмотреть, то можно заметить, что этот квадратный трехчлен представляет собой точный квадрат.

Ответ:

2) Решим это же уравнение с помощью формул для корней.

Выпишем значения коэффициентов:

Ответ:

3. Отрицательный дискриминант.

Решим квадратное уравнение

1) Выделяем полный квадрат.

Итак, уравнение примет вид:

Квадрат выражения равен отрицательному числу.
а) Для школьников.
Если уравнение решается над полем действительных чисел, то корень из отрицательного числа неопределен и это уравнение корней не имеет.
Ответ: корней нет.

Читайте так же:
Где в ворде индексы

б) Если это уравнение решается для комплексных чисел, то, пользуясь определением мнимой единицы:

Ответ:

2) Решим это же уравнение с помощью формул для корней.

Выпишем значения коэффициентов:

а) Для школьников.
Корень из отрицательного числа неопределен, это уравнение корней не имеет.
Ответ: корней нет.

б) Если это уравнение решается для комплексных чисел, то, пользуясь определением мнимой единицы:

Можно ли вычислить корень из отрицательного числа?

Как сказано выше: «Корень чётной степени из отрицательного числа не существует в области вещественных чисел». При этом в области комплексных чисел такой корень существует. Поэтому следует всегда учитывать, в какой числовой системе (вещественных или комплексных чисел) мы извлекаем корень. не существует.

Можно ли вычислить корень отрицательного числа?

В рамках действительных чисел корень из отрицательного числа извлечь нельзя, как нельзя построить квадрат отрицательной площади. … Точно так же в рамках действительных чисел нельзя извлекать корни любой четной степени (а нечетной — можно).

Как посчитать квадратный корень из отрицательного числа?

Правило извлечения нечетной степени из отрицательных чисел: чтобы извлечь корень из отрицательного числа необходимо извлечь корень из противоположного ему положительного числа и поставить перед ним знак минус.

Можно ли вычислить корень из нуля?

Квадратный корень из нуля равен нулю.

Как извлечь корень из дроби?

Чтобы извлечь корень из дроби, можно извлечь корень отдельно из числителя и знаменателя и первый результат разделить на второй.

Как извлечь корень из любого числа?

Чтобы извлечь квадратный корень из целого числа, воспользуйтесь делением в столбик. Для этого разделите целое число (делимое) на некоторое число (делитель) так, чтобы результат (частное) совпал с делителем. Например: 16 делить на 4 равно 4; 4 делить на 2 равно 2 и так далее.

Как извлечь корень из числа?

Правило. Чтобы, извлечь квадратный корень из данною целого числа, разбивают его, от правой руки к левой, на грани, по 2 цифры в каждой, кроме последней, в которой может быть и одна цифра. Чтобы найти первую цифру корня, извлекают квадратный корень из первой грани.

Как быстро извлечь корень из числа?

Ответ очевиден: возвести оба числа в квадрат. То, которое в квадрате даст исходное число, и будет корнем. Например, для числа 3364 мы нашли два числа-кандидата: 52 и 58.

Как извлечь корень из числа на калькуляторе?

Как найти корень с помощью калькулятора. Пример 1

  1. Найти квадратный корень из числа 114244:
  2. Шаг 1. Набрать на калькуляторе число: 114244.
  3. Шаг 2. Нажать кнопку “√”. Полученный результат и будет искомым значением квадратного корня:
  4. Ссылки по теме Как извлекать корень. Общие сведения

Как вычислить квадратный корень из 20?

Корень квадратный из 20 равен 4.4721359549996.

Как извлечь корень из 28?

Корень квадратный из 28 равен 5.2915026221292.

Читайте так же:
Можно ли закрывать крышку

Какой квадратный корень из 64?

Корень квадратный из 64 равен 8.

Почему корень из числа не может быть отрицательным?

В рамках действительных чисел корень из отрицательного числа извлечь нельзя, как нельзя построить квадрат отрицательной площади. В рамках действительных чисел это просто бессмыслица. Точно так же в рамках действительных чисел нельзя извлекать корни любой четной степени (а нечетной — можно).

Как извлечь корень из десятичной дроби?

Извлечение корней из дробных чисел

Из этого равенства следует правило извлечения корня из дроби: корень из дроби равен частному от деления корня из числителя на корень из знаменателя.

Чему равен квадратный корень из 2?

Корень квадратный из 2 равен 1.4142135623731.

Как найти корень из числа 5?

Чтобы вычислить корень 5 степени из числа, надо это число (стоящее под знаком корня) представить в виде суммы нескольких идущих подряд нечетных чисел. А корень пятой степени равен количеству слагаемых в разложении.

Извлечение корня из отрицательного числа

Отдельно стоит остановиться на извлечении корней из отрицательных чисел. При изучении корней мы сказали, что когда показатель корня является нечетным числом, то под знаком корня может находиться отрицательное число. Таким записям мы придали следующий смысл: для отрицательного числа −a и нечетного показателя корня 2·n−1 справедливо . Это равенство дает правило извлечения корней нечетной степени из отрицательных чисел: чтобы извлечь корень из отрицательного числа нужно извлечь корень из противоположного ему положительного числа, и перед полученным результатом поставить знак минус.

Рассмотрим решение примера.

Найдите значение корня .

Преобразуем исходное выражение, чтобы под знаком корня оказалось положительное число: . Теперь смешанное число заменим обыкновенной дробью: . Применяем правило извлечения корня из обыкновенной дроби: . Осталось вычислить корни в числителе и знаменателе полученной дроби: .

Приведем краткую запись решения: .

.

К началу страницы

Порязрядное нахождение значения корня

В общем случае под корнем находится число, которое при помощи разобранных выше приемов не удается представить в виде n-ой степени какого-либо числа. Но при этом бывает необходимость знать значение данного корня, хотя бы с точностью до некоторого знака. В этом случае для извлечения корня можно воспользоваться алгоритмом, который позволяет последовательно получить достаточное количество значений разрядов искомого числа.

На первом шаге данного алгоритма нужно выяснить, каков старший разряд значения корня. Для этого последовательно возводятся в степень n числа 0, 10, 100, … до того момента, когда будет получено число, превосходящее подкоренное число. Тогда число, которое мы возводили в степень n на предыдущем этапе, укажет соответствующий старший разряд.

Для примера рассмотрим этот шаг алгоритма при извлечении квадратного корня из пяти. Берем числа 0, 10, 100, … и возводим их в квадрат, пока не получим число, превосходящее 5. Имеем 0 2 =0<5, 10 2 =100>5, значит, старшим разрядом будет разряд единиц. Значение этого разряда, а также более младших, будет найдено на следующих шагах алгоритма извлечения корня.

Читайте так же:
Метод деления отрезка пополам в excel

Все следующие шаги алгоритма имеют целью последовательное уточнение значения корня за счет того, что находятся значения следующих разрядов искомого значения корня, начиная со старшего и продвигаясь к младшим. К примеру, значение корня на первом шаге получается 2, на втором – 2,2, на третьем – 2,23, и так далее 2,236067977…. Опишем, как происходит нахождение значений разрядов.

Нахождение разрядов проводится за счет перебора их возможных значений 0, 1, 2, …, 9. При этом параллельно вычисляются n-ые степени соответствующих чисел, и они сравниваются с подкоренным числом. Если на каком-то этапе значение степени превзойдет подкоренное число, то значение разряда, соответствующее предыдущему значению, считается найденным, и производится переход к следующему шагу алгоритма извлечения корня, если же этого не происходит, то значение этого разряда равно 9.

Поясним эти моменты все на том же примере извлечения квадратного корня из пяти.

Сначала находим значение разряда единиц. Будем перебирать значения 0, 1, 2, …, 9, вычисляя соответственно 0 2 , 1 2 , …, 9 2 до того момента, пока не получим значение, большее подкоренного числа 5. Все эти вычисления удобно представлять в виде таблицы:

Так значение разряда единиц равно 2 (так как 2 2 <5, а 2 3 >5). Переходим к нахождению значения разряда десятых. При этом будем возводить в квадрат числа 2,0, 2,1, 2,2, …, 2,9, сравнивая полученные значения с подкоренным числом 5:

Так как 2,2 2 <5, а 2,3 2 >5, то значение разряда десятых равно 2. Можно переходить к нахождению значения разряда сотых:

Так найдено следующее значение корня из пяти, оно равно 2,23. И так можно продолжать дальше находить значения : 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, ….

Для закрепления материала разберем извлечение корня с точностью до сотых при помощи рассмотренного алгоритма.

Сначала определяем старший разряд. Для этого возводим в куб числа 0, 10, 100 и т.д. пока не получим число, превосходящее 2 151,186. Имеем 0 3 =0<2 151,186, 10 3 =1 000<2151,186, 100 3 =1 000 000>2 151,186, таким образом, старшим разрядом является разряд десятков.

Определим его значение.

Так как 10 3 <2 151,186, а 20 3 >2 151,186, то значение разряда десятков равно 1. Переходим к единицам.

Таким образом, значение разряда единиц равно 2. Переходим к десятым.

Так как даже 12,9 3 меньше подкоренного числа 2 151,186, то значение разряда десятых равно 9. Осталось выполнить последний шаг алгоритма, он нам даст значение корня с требуемой точностью.

На этом этапе найдено значение корня с точностью до сотых: .

В заключение этой статьи хочется сказать, что существует масса других способов извлечения корней. Но для большинства задач достаточно тех, которые мы изучили выше.

Дата добавления: 2021-02-10 ; просмотров: 16 ; Мы поможем в написании вашей работы!

голоса
Рейтинг статьи
Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector