Можно ли делить матрицы

Можно ли делить матрицы

Сложение и вычитание векторов и матриц — просто сложение и вычитание соответствующих элементов. Умножение векторов имеет два определения: Векторное умножение, где результат — вектор, и скалярное, где результат — число. Скалярное умножение тесно связано с понятием базиса в пространстве, его результат — проекция одного вектора на другой. Оно задается простым правилом:

Здесь принято стандартное правило: по повторяющемуся индексу подразумеваетсь суммирование

Векторное умножение определяет вектор, перпендикулярный двум исходным. Длина результирующего вектора есть площадь парралеллограмма, образованного двумя исходными. Векторное умножение задается такими соотношениями:
[A,B]_x = A_yB_z — A_zB_y
[A,B]_y = A_zB_x — A_xB_z
[A,B]_z = A_xB_y — A_yB_x
,или , используя понятие детерминанта:

В трехмерном пространстве векторное умножение требует два вектора, но в N-мерном пространстве необходимо N-1 векторов, чтобы определить векторное умножение. Скалярное же умножение требует всегда 2 вектора.

Наиболее общий вид линейной зависимости между векторами:

Это называется умножением вектора на матрицу. Такое умножение можно рассматривать как преобразование вектора к другому базису, причем компоненты матрицы — попарные скалярные умножения каждого вектора старого базиса на каждый вектор нового:

Матрица называется символом Кронекера, или единичной матрицей. Очевидно, что
A_iE_ij = A_j

Чтобы преобразовать вектор сначала к одному базису, а затем к другому, необходимо умножить этот вектор на матрицы этих двух преобразований. Результат можно рассматривать как умножение исходног вектора на одну матрицу, являющуюся умножением двух матриц преобразований: C_ij = A_ikB_ljE_kl
или C = A*B

Матрица B_ij = A_ji называется транспонированной к A.

Модуль, содержащий основные операции над векторами и матрицами Matrix.pas.

Детерминанты, обратные матрицы и деление на матрицу.

В трехмерном пространстве площадь паралеллограмма между двумя векторами определяется векторным умножением:
S = [A,B]
и обьем паралеллепипеда между тремя векторами — как скалярное умножение вектора площади S на третий вектор: V = C*S, or

В N-мерном пространстве "N-мерный обьем" фигуры между N векторами вычисляется как детерминант (определитель):

Определение детерминанта рекуррентно: детерминант матрицы есть сумма по всем i произведений i-го элемента первой строки на определитель исходной матрицы без первой строки и i-го столбца, со знаком, изменяемым на каждом следующем столбце.

• Детерминант не изменяется при транспонировании
• Детерминант изменяет знак
• det(A*B) = det(A)*det(B)
• det(A -1 ) = det(A) -1
• Когда базис, задаваемый матрицей А, неполный, det(A)=0

Найдем матрицу A -1 такую, что AA -1 =1 Матрица A -1 задается формулой:
A_ij -1 = S_ij /det(A) где S_ij — алгебраическое дополнение [i,j]-го элемента — детерминант исходной матрицы без i-ой строки и j-го столбца и со знаком, меняющимся при переходе на каждый следующий столбец. Матрица A -1 называется обратной матрицей. Умножение AB -1 называется делением A на B. Умножение и деление матриц — умножение и деление преобразований. Например, если исходный вектор переведен в некий базис умножением на матрицу A, обратное преобразование задается матрицей A -1 .

Пример вычисления детерминанта Determinant.pas и модуль, содержащий основные операции над векторами и матрицами Matrix.pas.

Применеие матричной алгебры в 3D-моделировании

Наиболее сложные задачи построения трехмерных изображений — вращения и моделирование освещения.

1. Вращение базиса в сферической системе координат
2. Преобразование всех векторов нового базиса в декартову систему координат:
   x = R*cos(v)*cos(h)
   y = R*cos(v)*sin(h)
   z = R*sin(v)
   где v и h — вертикальная и горизонтальная угловые координаты.
3. Составление матрицы перехода в новый базис.
4. Умножение векторов всех точек сцены на эту матрицу
5. Перерисовка сцены

Моделирование освещения основывается на зависимости между интенсивностями падающего и отраженного света:
I(a) = I*cos(a), или, используя векторы I = L*n,
где a — угол между поверхностью и лучом света, L — "вектор света"
и n — вектор единичной длины, перпендикулярный к поверхности.

1. Получение векторов сторон каждого треугольника
2. Получение вектора, перпендикулярного к данному элементу поверхности, с помощью векторного умножения сторон треугольника
3. Длина этого вектора делается единичной — таким образом мы получаем вектор единичной длины, перпендикулярный к поверхности (n).
4. Скалярным умножением n на вектор света (его направление — направление световых лучей и его длина пропорциональна интенсивности света) получаем интенсивность отраженного света.

RGB-компоненты цвета треугольника пропорциональны интенсивности отраженного света.

Определитель матрицы: алгоритм и примеры вычисления определителя матрицы

Определитель (детерминант) матрицы — некоторое число, с которым можно сопоставить любую квадратную матрицу А = ( a i j ) n × n .

|А|, ∆ , det A — символы, которыми обозначают определитель матрицы.

Способ вычисления определителя выбирают в зависимости от порядка матрицы.

Определитель матрицы 2-го порядка вычисляют по формуле:

d e t A = 1 — 2 3 1 = 1 × 1 — 3 × ( — 2 ) = 1 + 6 = 7

Определитель матрицы 3-го порядка: правило треугольника

Чтобы найти определитель матрицы 3-го порядка, необходимо одно из правил:

• правило треугольника;
• правило Саррюса.

Как найти определитель матрицы 3-го порядка по методу треугольника?

а 11 а 12 а 13 а 21 а 22 а 23 а 31 а 32 а 33 = a 11 × a 22 × a 33 + a 31 × a 12 × a 23 + a 21 × a 32 × a 13 — a 31 × a 22 × a 13 — a 21 × a 12 × a 33 — a 11 × a 23 × a 32

А = 1 3 4 0 2 1 1 5 — 1

d e t A = 1 3 4 0 2 1 1 5 — 1 = 1 × 2 × ( — 2 ) + 1 × 3 × 1 + 4 × 0 × 5 — 1 × 2 × 4 — 0 × 3 × ( — 1 ) — 5 × 1 × 1 = ( — 2 ) + 3 + 0 — 8 — 0 — 5 = — 12

Правило Саррюса

Чтобы вычислить определитель по методу Саррюса, необходимо учесть некоторые условия и выполнить следующие действия:

• дописать слева от определителя два первых столбца;
• перемножить элементы, которые расположены на главной диагонали и параллельных ей диагоналях, взяв произведения со знаком «+»;
• перемножить элементы, которые расположены на побочных диагоналях и параллельных им, взяв произведения со знаком «—».

а 11 а 12 а 13 а 21 а 22 а 23 а 31 а 32 а 33 = a 11 × a 22 × a 33 + a 31 × a 12 × a 23 + a 21 × a 32 × a 13 — a 31 × a 22 × a 13 — a 21 × a 12 × a 33 — a 11 × a 23 × a 32

А = 1 3 4 0 2 1 — 2 5 — 1 1 3 0 2 — 2 5 = 1 × 2 × ( — 1 ) + 3 × 1 × ( — 2 ) + 4 × 0 × 5 — 4 × 2 × ( — 2 ) — 1 × 1 × 5 — 3 × 0 × ( — 1 ) = — 2 — 6 + 0 + 16 — 5 — 0 = 3

Методы разложения по элементам строки и столбца

Чтобы вычислить определитель матрицу 4-го порядка, можно воспользоваться одним из 2-х способов:

• разложением по элементам строки;
• разложением по элементам столбца.

Представленные способы определяют вычисление определителя n как вычисление определителя порядка n-1 за счет представления определителя суммой произведений элементов строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Разложение матрицы по элементам строки:

d e t A = a i 1 × A i 1 + a i 2 × A i 2 + . . . + а i n × А i n

Разложение матрицы по элементам столбца:

d e t A = а 1 i × А 1 i + а 2 i × А 2 i + . . . + а n i × А n i

Если раскладывать матрицу по элементам строки (столбца), необходимо выбирать строку (столбец), в которой(-ом) есть нули.

А = 0 1 — 1 3 2 1 0 0 — 2 4 5 1 3 2 1 0

• раскладываем по 2-ой строке:

А = 0 1 — 1 3 2 1 0 0 — 2 4 5 1 3 2 1 0 = 2 × ( — 1 ) 3 × 1 — 1 3 — 2 5 1 3 1 0 = — 2 × 1 — 1 3 4 5 1 2 1 0 + 1 × 0 — 1 3 — 2 5 1 3 1 0

• раскладываем по 4-му столбцу:

А = 0 1 — 1 3 2 1 0 0 — 2 4 5 1 3 2 1 0 = 3 × ( — 1 ) 5 × 2 1 0 — 2 4 5 3 2 1 + 1 × ( — 1 ) 7 × 0 1 — 1 2 1 0 3 2 1 = — 3 × 2 1 0 — 2 4 5 3 2 1 — 1 × 0 1 — 1 2 1 0 3 2 1

18. Элементарные матрицы

Определение 8. Элементарными матрицам называются такие матрицы, которые получаются с помощью одного элементарного преобразования из единичной матрицы.

Таким образом элементарные матрицы получаются из единичной матрицы с помощью следующих элементарных преобразований: 1) перестановка двух строк (I-й и j-й) местами; 2) умножение какой-нибудь строки (I-й) на число С≠0; 3) прибавление к какой-нибудь строке (I-й) другой строки (J-й), умноженной на число С. Они имеют соответственно следующий вид (первой указана единичная матрица, из которой получены следующие за ней элементарные матрицы, в каждой матрице выделены I-я и j-я строки и I-й и j-й столбцы):

,,,.

Элементарные матрицы обладют следующими свойствами.

1. Определители элементарных матриц не равны нулю и

.

2. Элементарные матрицы обратимы и обратные матрицы для элементарных матриц являются элементарными матрицами:

.

3. Если матрицу А порядка n умножить слева на элементарную матрицу порядка n, то с матрицей А произойдет элементарное преобразование с помощью которого элементарная матрица получена из единичной матрицы.

Свойство 1 следует из свойств определителя, свойство 2 доказывается с помощью непосредственного вычисления обратных матриц по алгоритму из теоремы 5, свойство 3 проверяется с помощью умножения матрицы А Слева на элементарные матрицы.

Теорема 8. Для любой невырожденной матрицы А существует такая последовательность элементарных матриц Е1, Е2. Еk , Что

. (12)

Доказательство. По теореме 2 парарафа 1 существует такая последовательность элементарных преобразований />строк, которые переводят матрицу А порядка N в матрицу С ступенчатого вида. Так как элементарные преобразования не обращают определитель матрицы в нуль, то никогда не получится матрица с нулевой строкой, и строки матрицы не будут выбрасываться. Поэтому матрица С квадратная матрица ступенчатого вида порядка N. Элементарным преобразованиям />соответствуют элементарные матрицы Е1, Е2. Еu . Пусть J1 переводит матрицу А в А1, J2 переводит А1 в А2 , и т. д. JU переводит Аu-1 в Аu=B. Тогда

,(13),

Где В ступенчатая (треугольная) матрица вида:

Умножим строки этой матрицы соответственно на числа

И матрица В преобразуется к виду:

Приведем матрицу С к единичной матрице. Для этого умножим прибавим к 1-й, к 2-й, и т. д. к (N-1)-й строкам матрицы N-ю строку, умноженную соответственно на числа получим все нули в последнем столбце матрицы С кроме элемента N-й стоки (все остальные элементы матрицы С не меняются). Аналогично продолжая элементарные преобразования получим из матрицы С единичную матрицу.

Следовательно, существует такая последовательность элементарных преобразований />строк, которые переводят матрицу В порядка N к единичной матрице Е. Элементарным преобразованиям />соответствуют элементарные матрицы Еu+1 , ЕU+2. Еk . Пусть JU+1 переводит матрицу B в B1, JU+2 переводит B1 в B2 , и т. д. JK переводит Bk-u в E. Тогда

.

Подставляя в это равенство формулу (13) находим, что

.

Умножая обе части равенства (12) последовательно на находим, что и получаем следующее следствие.

Следствие 1. Любую невырожденную квадратную матрицу А порядка n можно представить в виде произведения элементарных матриц порядка n.

Из равенства (12) в силу теоремы 6 находим, что

.

Отсюда видно, что если мы к матрице Е применим ту же самую цепочку элементарных преобразований строк, с помощью которой из матрицы А мы получили единичную матрицу, то из матрицы Е мы получим обратную матрицу А-1. Отметим, что эти преобразования можно выполнять одновременно, а для этого достаточно справа к матрице А приписать единичную матрицу того же порядка.

Исходя из этого мы приходим к следующему способу вычисления обратной матрицы методом элементарных преобразований. Приписываем к матрице А срава единичную матрицу Е того же порядка, разделив их вертикальной чертой. Затем матрицу А с помощью элементарных преобразований строк приводится к единичной матрице Е (если в преобразованной матрице появится нулевая строка, то detA=0 и обратная матрица А-1 не существует). Тогда на месте приписанной матрицы Е получается матрица А-1.

Пример 4. Вычислить обратную матрицу для матрицы

.

Припишем справа к матрице А единичную матрицу и приведем матрицу А элементарными преобразованиями к единичной матрице.

Документация

Эта тема содержит введение в создание матриц и выполнение основных матричных вычислений в MATLAB ® .

Среда MATLAB использует термин матрица , чтобы указать на переменное, содержащее вещественные или комплексные числа, расположенные в двумерной сетке. Массив является, в более общем плане, вектором, матрицей или более высокой размерной сеткой чисел. Все массивы в MATLAB являются прямоугольными, в том смысле, что векторы компонента по любому измерению являются всеми одинаковыми длина. Математические операции, заданные на матрицах, являются предметом линейной алгебры.

Создание матриц

MATLAB имеет много функций, которые создают различные виды матриц. Например, можно создать симметрическую матрицу с записями на основе треугольника Паскаля:

Или, можно создать несимметричную матрицу магического квадрата , которая имеет равные суммы строки и столбца:

Другим примером является 3 2 прямоугольная матрица случайных целых чисел. В этом случае первый вход к randi описывает область значений возможных значений для целых чисел, и вторые два входных параметров описывают количество строк и столбцов.

Вектор-столбцом является m-by-1 матрица, вектор-строка является 1 n матрицей, и скаляр является матрицей 1 на 1. Чтобы задать матрицу вручную, используйте квадратные скобки [ ] обозначить начало и конец массива. В скобках используйте точку с запятой ; обозначить конец строки. В случае скаляра (матрица 1 на 1), не требуются скобки. Например, эти операторы производят вектор-столбец, вектор-строку и скаляр:

Для получения дополнительной информации о создании и работе с матрицами, смотрите Создание, конкатенацию и расширение матрицы.

Сложение и вычитание матриц

Сложение и вычитание матриц и массивов выполняются поэлементно или поэлементные . Например, добавление A к B и затем вычитание A от результата восстанавливает B :

Сложение и вычитание требуют, чтобы обе матрицы имели совместимые размерности. Если размерности несовместимы, ошибка заканчивается:

Для получения дополнительной информации см. Массив по сравнению Матричные операции.

Векторные произведения и транспонирование

Вектор-строка и вектор-столбец той же длины могут быть умножены в любом порядке. Результатом является или скаляр, названный скалярным произведением , или матрица, названная векторным произведением :

Для действительных матриц транспонировать операция обменивается a _{i j} и a _{j i}. Для комплексных матриц другой фактор состоит в том, взять ли сопряженное комплексное число комплексных записей в массиве, чтобы сформировать комплексное сопряженное транспонирование . MATLAB использует оператор апострофа ( ‘ ) выполнять комплексное сопряженное транспонирование и оператор точечного апострофа ( .’ ) транспонировать без спряжения. Для матриц, содержащих все действительные элементы, эти два оператора возвращают тот же результат.

Матрица в качестве примера A = pascal(3) симметрично , таким образом , A’ равно A . Однако B = magic(3) не симметрично, таким образом , B’ отразили элементы по основной диагонали:

Для векторов перемещение превращает вектор-строку в вектор-столбец (и наоборот):

Если x и y оба действительные вектор-столбцы, затем продукт x*y не задан, но эти два продукта

приведите к тому же скалярному результату. Это количество используется так часто, оно имеет три различных имени: скалярное произведение , скалярное произведение или скалярное произведение . Существует даже специализированная функция для названных скалярных произведений dot .

Для комплексного вектора или матрицы, z , количество z’ не только транспонирует вектор или матрицу, но также и преобразует каждый комплексный элемент в его сопряженное комплексное число. Таким образом, знак мнимой части каждого комплексного элемента изменения. Например, рассмотрите комплексную матрицу

Комплексное сопряженное транспонирование z :

Неспрягаемый комплекс транспонирует, где комплексная часть каждого элемента сохраняет свой знак, обозначается z.’ :

Для комплексных векторов, эти два скалярных произведения x’*y и y’*x сопряженные комплексные числа друг друга и скалярное произведение x’*x из комплексного вектора с собой действительно.

Умножение матриц

Умножение матриц задано способом, который отражает состав базовых линейных преобразований и позволяет компактное представление систем одновременных линейных уравнений. Матричное произведение C = AB задан, когда размерность столбца A равна размерности строки B, или когда один из них является скаляром. Если A является m-by-p, и B является p-by-n, их продукт, C является m-by-n. Продукт может на самом деле быть задан с помощью MATLAB for циклы, colon обозначение и векторные скалярные произведения:

MATLAB использует звездочку, чтобы обозначить умножение матриц, как в C = A*B . Умножение матриц не является коммутативным; то есть, A*B обычно не равно B*A :

Матрица A может быть умножена справа вектор-столбцом и слева вектором-строкой:

Прямоугольные умножения матриц должны удовлетворить условиям совместимости размерности. Начиная с A имеет размер 3х3 и C 3 2, можно умножить их, чтобы добраться 3 2 результат (общие внутренние отмены размерности):

Однако умножение не работает в обратном порядке:

Можно умножить что-либо со скаляром:

Когда вы умножаете массив на скаляр, скаляр неявно расширяется, чтобы быть одного размера с другим входом. Это часто упоминается как скалярное расширение .

Единичная матрица

Общепринятое математическое обозначение использует прописную букву I, чтобы обозначить единичные матрицы, матрицы различных размеров с единицами на основной диагонали и нулях в другом месте. Эти матрицы имеют свойство, что A I = A и I A = A каждый раз, когда размерности совместимы.

Исходная версия MATLAB не могла использовать I с этой целью, потому что это не различало прописные и строчные буквы, и i уже служил индексом и как комплексной единицей. Таким образом, английская игра слов языка была введена. Функция

возвращает m-by-n прямоугольная единичная матрица и eye(n) возвращает n-by-n квадратная единичная матрица.

Обращение матриц

Если матричный A является квадратным и несингулярным (ненулевой определитель), затем уравнения A X = I и X A =, I имеет то же решение X. Это решение называется инверсией A и обозначается A -1 . inv функционируйте и выражение A^-1 оба вычисляют обратную матрицу.

Определитель , вычисленный det мера масштабного коэффициента линейного преобразования, описанного матрицей. Когда определитель ниже нуля, матрица сингулярна , и никакая инверсия не существует.

Некоторые матрицы почти сингулярны , и несмотря на то, что обратная матрица существует, вычисление восприимчиво к числовым ошибкам. cond функция вычисляет число обусловленности для инверсии , которая дает индикацию относительно точности результатов матричной инверсии. Число обусловленности лежит в диапазоне от 1 для численно устойчивой матрицы к Inf для сингулярной матрицы.

Редко необходимо сформировать явную инверсию матрицы. Частое неправильное употребление inv возникает при решении системы линейных уравнений A x = b . Лучший способ решить это уравнение, с точки зрения и времени выполнения и числовой точности, состоит в том, чтобы использовать матричный оператор обратной косой черты x = Ab . Смотрите mldivide для получения дополнительной информации.

Продукт тензора Кронекера

Кронекеров продукт, kron(X,Y) , из двух матриц большая матрица, сформированная из всех возможных продуктов элементов X с теми из Y . Если X m-by-n и Y p-by-q, затем kron(X,Y) mp-by-nq. Элементы располагаются таким образом что каждый элемент X умножается на целый матричный Y :

Кронекеров продукт часто используется с матрицами нулей и единиц, чтобы создать повторенные копии маленьких матриц. Например, если X матрица 2 на 2

и I = eye(2,2) единичная матрица 2 на 2, затем:

Кроме kron , некоторые другие функции, которые полезны, чтобы реплицировать массивы, repmat , repelem , и blkdiag .

Векторные и матричные нормы

‖ x ‖ p = ( ∑ | x i | p ) 1 p ,

вычисляется norm(x,p) . Эта операция задана для любого значения p> 1, но наиболее распространенные значения p равняются 1, 2, и ∞. Значением по умолчанию является p = 2, который соответствует Евклидовой длине или векторной величине :

‖ A ‖ p = max x ‖ A x ‖ p ‖ x ‖ p ,

может быть вычислен для p = 1, 2, и ∞ norm(A,p) . Снова, значением по умолчанию является p = 2:

В случаях, где вы хотите вычислить норму каждой строки или столбца матрицы, можно использовать vecnorm :

Используя многопоточное вычисление с функциями линейной алгебры

MATLAB поддерживает многопоточный расчет во многой линейной алгебре и поэлементных числовых функциях. Эти функции автоматически выполняются на нескольких потоках. Для функции или выражения, чтобы выполниться быстрее на нескольких центральных процессорах, много условий должны быть верными:

Функция выполняет операции, что легко раздел в разделы, которые выполняются одновременно. Эти разделы должны смочь выполниться с небольшой связью между процессами. Они должны потребовать немногих последовательных операций.

Размер данных является достаточно большим так, чтобы любые преимущества параллельного выполнения перевесили время, требуемое разделить данные и управлять отдельными потоками выполнения. Например, большинство функций убыстряется только, когда массив содержит несколько тысяч элементов или больше.

Операция не ограничена памятью; время вычислений не во власти времени доступа к памяти. Как правило сложные функции ускоряют больше, чем простые функции.

Матрица умножает (X*Y) и матричная степень (X^p) операторы показывают значительное увеличение скорости на больших массивах с двойной точностью (порядка 10 000 элементов). Функции анализа матрицы det , rcond , hess , и expm также покажите значительное увеличение скорости на больших массивах с двойной точностью.

Операции над строками матрицы

Определение.Матрицей называется прямоугольная таблица, в каждой клетке которой стоит какое-нибудь число или выражение.

Матрицы обычно обозначают большими буквами латинского алфавита, например A, B, C.

Определение.Матрица имеет размерность m×n, если она имеет m строк и n столбцов.

Определение. Элементом матрицы называется содержимое ее клетки.

Элементы матрицы обычно обозначают малыми буквами латинского алфавита с двумя индексами, где первый индекс – номер строки, а второй – номер столбца, где элемент расположен, например – элемент, расположенный на пересечении i-й строки и j-го столбца.

Матрицу обычно записывают следующим образом:

Определение. Матрицы называются равными, если они имеют одинаковую размерность и их элементы, стоящие на одинаковых местах, равны.

Определение. Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны нулю.

Нулевую матрицу будем обозначать O (в то время как число – 0).

Определение. Матрицей-строкой называется матрица размерности 1×n. Ее также называют вектор-строкой.

Определение. Матрицей-столбцом называется матрица размерности m×1. Ее также называют вектор-столбцом.

Определение.Транспонированными называются матрицы, у которых строки (столбцы) одной являются столбцами (строками) другой. (Также говорят, что одна матрица получена из другой транспонированием).

Матрица, полученная из матрицы A транспонированием, будем обозначать .

Определение.Матрица называется квадратной, если число ее строк равно числу ее столбцов.

О размерности квадратной матрицы говорят одним числом, например квадратная матрица размерности n.

Определение.Главную диагональ квадратной матрицы образуют элементы , , …, .

Определение.Побочную диагональ квадратной матрицы образуют элементы , , …, .

Определение. Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю.

Определение. Квадратная матрица называется верхнетреугольной (нижнетреугольной), если все ее элементы, расположенные ниже (выше) главной диагонали, равны нулю.

Определение. Квадратная матрица называется единичной, если элементы ее главной диагонали равны единице, а все остальные – нулю.

Единичную матрицу будем обозначать E. Очевидно, что она является диагональной.

Операции над строками матрицы

Определение. Элементарными преобразованиями строк матрицы называются преобразования следующих трех типов:

1. перестановка местами двух строк.

Условное обозначение: , где стрелки указывают на строки, переставляемые местами.

2. Замена строки суммой этой строки и другой, предварительно умноженной на какое-либо число .

Условное обозначение: , где стрелка указывает на изменяемую строку, а множитель ставится рядом с преобразуемой строкой.

3. Умножение элементов строки на ненулевое число .

Условное обозначение: , ставится рядом с преобразуемой строкой.

Аналогично вводятся элементарные преобразования столбцов матрицы.

Ступенчатые матрицы

Определение. Опорным элементом строки матрицы называется первый слева ненулевой элемент этой строки.

Условное обозначение: обводится кружочком или квадратиком.

Определение.Матрица называется ступенчатой (имеющей ступенчатый вид), если опорный элемент каждой последующей строки расположен правее опорного элемента предыдущей.

В частности, опорный элемент первой строки может находиться в любом месте, нулевая строка (все элементы которой – нули) может располагаться под любой строкой, а ниже нулевой строки могут находиться только нулевые.

Определение.Матрица имеет ступенчатый вид Гаусса, если:

· она имеет ступенчатый вид;

· все опорные элементы равны единице;

· над опорными элементами всюду выше стоят только нули.

Поскольку в некоторых доказательствах мы собираемся использовать принцип математической индукции, то приведем его формулировку.

Принцип математической индукции.Пусть сформулировано некоторое утверждение, зависящее от натурального числа n. Тогда, доказав что

· это утверждение верно для некоторого начального (доказав базу индукции);

· это утверждение верно для , предполагая, что утверждение верно для всех (доказав шаг индукции, принимая индуктивное предположение);

можно сделать вывод, что данное утверждение верно для любого натурального n.

Теорема.Любая матрица А может быть приведена к ступенчатой матрице с помощью элементарных преобразований строк первого и второго типов.

Доказательство.Проведем доказательствоиндукцией по числу строк матрицы. Если имеется всего одна строка, то матрица А уже ступенчатая. Пусть теперь матрица А содержит m строк, где . Предположим, что матрицу с числом строк, меньшим m, можно привести к ступенчатому виду. Если матрица А нулевая, то она ступенчатая. Если А ненулевая, то в ней есть хоть один ненулевой элемент. Ненулевой элемент располагается в какой-то строке. Значит, в матрице А есть ненулевые строки. Выберем ту строку, в которой опорный элемент располагается в столбце с наименьшим номером, скажем с номером . Применив преобразование первого типа, перенесем эту строку на первое место. Тогда матрица примет вид:

причем . Теперь будем применять преобразования второго типа: ко второй строке прибавим первую, умноженную на , к третьей строке – первую, умноженную на , и т. д. После применения таких элементарных преобразований добьемся того, что в столбце всюду, кроме первой строки, будут нули:

Отбросим первую строку. Оставшаяся матрица имеет строку. По индуктивному предположению ее можно привести к ступенчатому виду:

Пусть первые ненулевые элементы строк ступенчатой матрицы G располагаются в столбцах с номерами . Тогда по определению ступенчатой матрицы. Но осуществляя элементарные преобразования уменьшенной матрицы, можно считать, что мы делаем элементарные преобразования матрицы С, не использующие первой строки. Поскольку при выполнении этих элементарных преобразований нули, стоявшие в первых столбцах матрицы С, не могли исчезнуть, то . Таким образом, мы получили матрицу

Теорема.Любая матрица А может быть приведена к матрице, имеющей ступенчатый вид Гаусса, с помощью элементарных преобразований строк.

Доказательство.Поскольку любая матрица А может быть приведена к ступенчатой матрице с помощью элементарных преобразований строк первого и второго типов, то считаем, что первый пункт определения матрицы, имеющей ступенчатый вид Гаусса, выполнен. Теперь применим преобразования третьего типа. Умножим каждую ненулевую строку на число, обратное ее опорному элементу. Стал выполненным и второй пункт определения матрицы, имеющей ступенчатый вид Гаусса. При этом первый пункт не перестал выполняться. Далее для каждой строки i, имеющей опорный элемент , кроме первой, в порядке возрастания i сделаем следующее. К каждой строке j, такой что j<i, прибавим i-ю строку, умноженную на . Таким образом, над опорным элементом всюду выше появятся нули. При этом, поскольку в i-й строке до элемента стоят нули, то не пропадут нули, стоявшие в j-й строке (j< i) до -го столбца, и нули, сделанные в j-й строке (j< i) в столбцах между -м и -м столбцами над опорными элементами строк с номерами между j и i. Следовательно, будут выполненными все три пункта определения матрицы, имеющей ступенчатый вид Гаусса. ■