Математические модели эпидемического процесса

Математические модели эпидемического процесса.

Моделирование следует рассматривать как важнейший инструмент познания эпидемического процесса. Широкое использование терминов «модель», «математическая модель» и самих моделей в эпидемиологии знаменует шаг вперед по сравнению с классическими методологическими установками.

Моделирование эпидемического процесса имеет свою историю, причем главные ее страницы связаны с математическими моделями.

Математическое моделирование в эпидемиологии — это формальное описание основных элементов механизма эпидемического процесса с помощью системы соотношений, формул, функций, уравнений и др. В зависимости от того, насколько глубоко описываемые в математических терминах элементы (факторы, показатели) характеризуют эпидемический процесс, различают несколько классов моделирования:

1) формальную апроксимацию (приближение), состоящую в перенесении знаний математического описания внешне подобных явлений из других областей (например, волновых колебаний) на эпидемический процесс;

2) формальную экстраполяцию (в основном кривых заболеваемости), дающую удовлетворительные результаты лишь в том случае, если факторы, формирующие рассматриваемый эпидемический процесс, примерно постоянны;

3) содержательное моделирование эпидемического процесса с дискретным или непрерывным течением.

Каждый из этих классов моделирования оперирует своим специфическим набором математических средств, имеющих определенные ограничения и показания к применению. В то же время модели, относящиеся к одному классу, обеспечивают определенный уровень отдачи при исследовании эпидемического процесса. Следовательно, между задачей и способом моделирования имеется тесная связь.

В эпидемиологии моделирование применяется в исследовательских целях, для прогнозирования характера эпидемического процесса и определения стратегии служб здравоохранения.

Познавательная роль моделей определяется их сущностью, предполагающей выявление взаимосвязей многочисленных параметров эпидемического процесса. Хорошо организованная математическая модель дисциплинирует исследовательскую работу, систематизирует научные знания и нередко приводит к появлению новых идей. Она позволяет судить о числе контактов, определять степень риска инфицирования и заболевания, исследовать особенности возрастного и территориального распределения заболеваемости. Не менее важной функцией модели является описание многолетней динамики заболеваемости, включая сезонные циклы, что открывает возможность прогнозирования тенденций и уровней развития основных показателей эпидемического процесса. Разумное использование методов математического моделирования эпидемического процесса может быть чрезвычайно полезно также при планировании профилактических и противоэпидемических мероприятий, для выбора оптимальных путей борьбы с эпидемическим распространением заболеваний.

При построении эпидемиологической модели различают несколько этапов:
— установление структуры модели на основе собранных фактических данных о параметрах эпидпроцесса (восприимчивость, устойчивость, инкубационный период, длительность болезни, бактерионосительство, продолжительность иммунитета и др.);
— математическая формулировка модели;
— «проигрывание» на ЭВМ ряда вариантов эпидпроцесса при включении различных условий, влияющих на распространение инфекции, с целью выбора оптимального.

Большинство моделей сконструировано и применено с целью краткосрочного прогнозирования заболеваемости, что, по всей вероятности, диктуется потребностями противоэпидемической службы для подготовки и своевременной реализации в практических условиях эффективных профилактических, противоэпидемических и лечебных мероприятий. Исследовательским задачам, соподчиненным с выбором оптимальной тактики борьбы с заболеваемостью, посвящено лишь незначительное число моделей.

За многие годы существования человечества огромное число людей погибло от различных эпидемий. Чума, холера, грипп и др. нередко поражали значительные массы людей. Для того, чтобы иметь возможность бороться с эпидемиями, т.е. своевременно применять те или иные медицинские мероприятия (карантины, вакцинации и т.п.),необходимо уметь сравнивать эффективность этих мероприятий. Сравнить же их можно лишь в том случае, если есть возможность предсказать, как при том или ином мероприятии будет меняться ход эпидемии, т.е. как будет меняться число заболевших.

Отсюда возникает необходимость в построении модели, которая могла бы служить целям прогноза.

Для простоты рассмотрим естественный ход эпидемии без какого-либо вмешательства и попробуем спрогнозировать последствия.

Так как нашей целью является лишь создание иллюстративной модели, то здесь мы абстрагируемся от очень многих факторов ( условия размножения бактериальных клеток, степень восприимчивости к инфекции отдельных людей, вероятность встречи носителя инфекции со здоровым человеком и т.д.)

Итак, пусть имеется N здоровых людей, и в момент времени t=0 в эту группу попадает один заболевший человек – источник инфекции. Будем предполагать, что никакого удаления заболевших из группы не происходит. Считаем также, что человек становится источником инфекции сразу же после того, как он сам заразится.

Допустим в некоторый момент времени t

X(t) – число источников инфекции,

Y(t) – число людей, могущих заболеть,

Тогда имеем X(t)+Y(t)=N+1 в любой момент времени.

При t=0 выполняется условие X(0)=1

Количество новых больных dX, появившихся за промежуток времени dt, будет пропорционально числу встреч здоровых и заболевших людей, т.е. произведению величин XY. Следовательно, можно записать

или ,

где a – коэффициент пропорциональности.

Полученное дифференциальное уравнение вместе с условием X(0)=1 определяет функцию X(t), т.е. численность заболевших в момент времени t.

Найдем общее решение, предварительно разделив переменные.

Чтобы взять первый интеграл, разделим числитель и знаменатель дроби на и введем новую переменную , тогда , и отсюда .

Заменим под интегралом переменную, получим

После интегрирования имеем

, и, следовательно

С учетом того, что ,получим искомую функцию X(t)

Так как при t=0 значение X(t)=1, то для определения величины С имеем уравнение

, откуда C=N

Итак, мы знаем число заболевших как функцию времени. Проанализируем полученную формулу. При возрастании t знаменатель дроби убывает, т. е. X(t) увеличивается. Это соответствует нашим представлениям, так как, согласно им, число заболевших может только увеличиваться.

Интересно выяснить, как меняется скорость увеличения числа больных. Для решения этого вопроса нужно изучить величину .

Числитель дроби обращается в нуль при .

Таким образом, когда , величина , а когда , величина .

Следовательно, функция — скорость возрастания числа заболевших – растет вплоть до момента , а затем убывает.

Этот результат хорошо согласуется с экспериментальными данными, так как известно, что в начале эпидемии число заболевших резко растет, а впоследствии скорость распространения инфекции снижается.

Ученые Питерского Политеха и НИИ гриппа создали математическую модель распространения коронавируса

Математическую модель распространения коронавирусной инфекции разработали сотрудники Центра компетенций НТИ Санкт-Петербургского политехнического университета Петра Великого (СПбПУ) совместно с экспертами Института биомедицинских систем и биотехнологий СПбПУ и НИИ гриппа им. А.А. Смородинцева. В проекте также принимали участие организации, входящие в консорциум Центра НТИ СПбПУ . Руководит проектом по созданию математической модели проректор по перспективным проектам СПбПУ, руководитель Центра компетенций НТИ СПбПУ Алексей Боровков.

Математическая модель разработана в согласовании с Министерством здравоохранения РФ. Ранее результаты ее применения представил губернатору Санкт-Петербурга Александру Беглову вице-губернатор Владимир Княгинин.

Исследования на системной основе ведутся с 3 февраля 2020 года. Моделирование выполнено с использованием математической SEIR-модели типа Кермака – Маккендрика, являющейся классической для описания распространения опасных эпидемий на базе системы дифференциальных уравнений и учитывающей:

• начальное соотношение восприимчивых индивидов в популяции,
• доверительные интервалы инкубационных периодов,
• численности восприимчивых индивидов / индивидов, находящихся в инкубационном периоде / инфицированных индивидов / переболевших индивидов,
• коэффициенты интенсивности выздоровления / интенсивности перехода в стадию инфицированных индивидов / интенсивности контактов индивидов / .

и многие другие параметры,
а также на основе пространственной мультиагентной модели.

Для калибровки разработанных математических моделей эксперты последовательно рассматривали и описывали с высокой степенью точности ситуации распространения инфекции коронавируса в агломерации Ухань в Китае, на лайнере “Diamond Princess”, в Италии и т.д. – это своеобразный конвергентный процесс “Model & Expert Learning”.

Ученые прогнозируют возможную продолжительность вспышки заражения коронавирусной инфекцией в Санкт-Петербурге до июня – июля 2020 года, т.е. 4-5 месяцев с даты подтверждения диагноза первому заболевшему (4 марта). Общая продолжительность будет зависеть от эффективности санитарно-эпидемиологических мер, которые позволят снизить как число заболевших на пике заболеваемости, так и нагрузку на систему здравоохранения. «Оптимистичные сценарии с введением мер контроля, таких как самоизоляция, дистанционное обучение, квази-карантин, безусловная обсервация общежитий и больниц с инфицированными и так далее, и без введения мер контроля могут отличаться “на пике” между собой в 50 раз! Количество инфицированных индивидов может увеличиться с огромного числа 40 000 до зашкаливающих двух миллионов, а это количество уже является неподъёмным для любой системы здравоохранения», – комментирует Алексей Боровков.

По мнению эксперта, преждевременно ослабевать меры контроля и самоизоляции. «Результаты всего лишь за три недели могут измениться в пять раз, а полное снятие мер контроля может вызвать неконтролируемый и практически неуправляемый экспоненциальный рост количества инфицированных», – заключил Алексей Боровков.

Русские Блоги

Моделирование эпидемии — компьютерное моделирование

Идеи моделирования

Чтобы смоделировать эпидемию, нам нужно исходить из реальной ситуации и учитывать влияние вирусов, людей, общества и других факторов на эпидемию.

Пути передачи вируса:
Путь передачи вируса является основой развития эпидемии. Если путь передачи затруднен, нынешняя ситуация с эпидемией будет постепенно развиваться в искусственно созданном направлении. контролируемо, иначе эпидемия будет постепенно ухудшаться.

• Инфекции, вызванные чиханием, кашлем, говорящими каплями и прямым вдыханием выдыхаемого воздуха пациентами;
• Передача аэрозоля означает, что капли смешиваются в воздухе с образованием аэрозоля и вызывают инфекцию после вдыхания;
• Контактная передача относится к инфекции, вызванной попаданием капель на поверхность предметов после прикосновения к зараженным рукам, а затем и на слизистых оболочках, таких как рот, нос и глаза.

Природа вируса:
Природа вируса повлияет на состояние людей после заражения.

• Средний инкубационный период вируса — 14 дней.
• Он может прожить до 9 дней на поверхности таких предметов, как металл, стекло или пластик.

Материалы для эффективного блокирования распространения вируса:
Достаточное количество материалов может улучшить текущее состояние здоровья и позволить больнице нормально работать; в то же время соответствующие материалы могут обеспечить защиту людей и эффективно предотвратить распространение вируса по некоторым каналам передачи. .

• Медицинская маска
• алкоголь
• дезинфицирующее средство
• защитный костюм

Сам человек:

Иммунитет
Человеческий иммунитет обычно напрямую связан с возрастом человека и другими факторами. Как правило, у маленьких детей и пожилых людей иммунитет плохой.

Личность
Под идентичностью здесь понимается социальная идентичность, которую здесь можно разделить на два типа, включая врачей и полицейских, которые вынуждены уйти из-за рабочих потребностей и студентов, и белых воротничков, которые этого не делают. приходиться выходить на работу.
В то же время учитываются семейные факторы, и, возможно, здесь учитываются члены семьи, которым нужно пойти на овощную ферму или в супермаркет, чтобы купить продукты.

привычка
Личные привычки, такие как мытье рук и ношение масок, напрямую влияют на распространение вируса. Отсутствие хороших привычек может усугубить эпидемию. По мере развития эпидемии эти привычки может получить широкое распространение, поэтому привычки постепенно улучшаются.

Болезнь
Статус болезни является личным признаком каждого человека и служит отметкой.

Ты болеешь?
Если вы обнаружите, что уже заболели, когда заболели, вы можете уменьшить контакты с другими людьми и принять меры защиты, чтобы не заразить других.

общество:
Некоторые меры, которые мы уже видели

• Измерьте температуру тела
• Рекомендовать самоизоляцию
• Социальное финансирование
• Заблокируйте город
• Проходить
• Планирование медицинских ресурсов
• слух
• Отложенный запуск бизнес-школ, обучение на онлайн-конференциях и т. Д.

Дизайн диаграммы классов

Дизайн класса на основе идей:

Глобальные настройки

RestrainRate представляет собой уровень запрета для путешествующих людей. Чем выше уровень запрета, тем ниже частота и вероятность того, что люди будут ходить на работу или за покупками.

nationState представляет текущее состояние страны, включая 1) пиковый возврат домой; 2) пик переделок; 3) нормальную работу.
Если это пик возвращения домой, люди с большей вероятностью переедут из городов с высоким ВВП в города с низким ВВП. Если это пик возвращения на работу, люди с большей вероятностью переехать из городов с низким ВВП в города с высоким ВВП.

medicalResource отображает состояние медицинских ресурсов

City хранит информацию обо всех городах в объекте City

Больницы хранят информацию обо всех городах объекта Больница.

станции хранят информацию обо всех городах объекта Станция

Крестики хранят информацию обо всех городах объекта Крест

в маркетах хранится информация обо всех городах объекта Маркет

people хранит информацию о владельце объекта People

safeDis представляет собой безопасное расстояние между людьми
Если зараженный человек находится на безопасном расстоянии от здорового человека, вероятность заражения выше.

инкубация Prob и болезнь Prob соответственно указывают"IIU", скрыто не обнаруженный — вероятность скрыто обнаруженного "IIF"против«IAU» не обнаружено в начале — вероятность «IAF» в начале

HospitalCureProb указывает вероятность излечения в больнице.

deHospitalCureProb указывает вероятность излечения, не будучи в больнице

мертвые записывают количество смертей

timeRate представляет кратное время

dayTime представляет собой временную петлю

Имитация человеческого движения

В симуляции мы построили и спланировали сетевую структуру, состоящую из 6 городов.

Движение симуляции человека реализуется через класс People и некоторые ключевые классы, среди которых Hospital Station Cross Market Home представляет больницу, станцию, перекресток, рынок и дом соответственно, которые унаследованы от класса местоположения Place. Чтобы симуляция больше соответствовала реальной ситуации, больницы, станции, перекрестки, рынки и дома представляют некоторые ключевые ориентиры в симуляции, которые используются для симуляции работы людей, лечения, жилья и условий жизни.

Поскольку люди перемещаются между городами за определенный период времени, города связаны станциями.

Переход в человеческое состояние

Здесь мы выбираем SIRD в качестве базовой модели и расширяем ее на этой основе.

Моделирование эпидемии в excel

Математические модели и их программная реализация сегодня широко используются в самых разнообразных областях, в том числе в биологии, экологии, эпидемиологии [1].

В докладе представлена программная реализация визуализации простейших моделей распространения эпидемий.

Важнейшая область применения моделей – это прогнозирование. В случае с эпидемиями это позволяет оценить возможную опасность от той или иной болезни и принять необходимые меры предосторожности. При моделировании реальной ситуации для решения задач прогнозирования можно идти двумя путями:

1. Рассчитать коэффициенты параметров модели, если они имеют физическое значение

2. Построить графики и подобрать параметры таким образом, чтобы модель соответствовала рассматриваемой ситуации.

Так как зачастую параметры модели выражают абстрактные коэффициенты, для которых нет четких формул расчета, чаще применяется второй подход.

Другая область применения математических моделей – обучение специалистов в прикладной области, поскольку визуализация позволяет наглядно показать в динамике, как влияет изменение разных параметров на конкретные моделируемые ситуации, что невозможно сделать при помощи мела и доски или статических презентаций. Это помогает лучше объяснить существующие взаимосвязи между параметрами и другими факторами. Для этой цели в работе реализованы в качестве примеров частные или типовые случаи выбора параметров, а также встроены обучающие упражнения на подбор тех или иных параметров модели для достижения определенных целей.

Модель Кермака-МакКендрика [2] представлена следующей системой дифференциальных уравнений:

(1)

здесь S(t) – здоровые особи, которые находятся в зоне риска и могут быть инфицированы, I(t) – инфицированные особи, R(t) – особи, которые больше не распространяют вирус (это могут быть как выздоровевшие, так и погибшие), λ – так называемая сила инфекции, 1/γ – среднее время, в течение которого проходит болезнь.

Для этой модели в качестве частного случая моделируется эпидемия лихорадки Эбола в Новой Гвинее в 2014 году на период с марта до конца октября. Программа строит графики, полученные с помощью модели, которые соответствуют известным статистическим данным [3].

Рассмотрим модель эпидемии с бессимптомным протеканием болезни [4], где S(t) – число восприимчивых к вирусу людей, E(t) – число невакцинированных людей, I(t) – число инфицированных людей с симптомами, A(t) – число инфицированных людей без симптомов, H(t) – число госпитализированных людей, R(t) – люди, которые больше не распространяют инфекцию.

(2)

Описание параметров: β – коэффициент передачи при контакте, δ1 – коэффициент заражения без симпотомов (0;1], с – коэффициент передачи при контакте при отсутствии вспышки, a – коэффициент скорости госпитализации, μ – коэффициент прогрессирования передачи, α – группа зараженных из группы риска (0;1], σ2 – коэффициент выздоровления зараженных, γ2 – коэффициент выздоровления зараженных, γ3 – коэффициент выздоровления зараженных без симптомов, γ4 – коэффициент выздоровления госпитализированных.

1. Бессимптомная эпидемия

2. Локальная вспышка

3. Агрессивная эпидемия

4. Массовая эпидемия.

Визуализация решения системы уравнений позволяет наглядно показать в динамике, как влияет изменение вышеуказанных параметров на конкретные варианты распространения эпидемии.

Конструирование эпидемиологических моделей

Эпидемиология из-за некоторого стечения обстоятельств стала очень популярной за последний год. Интерес к моделированию эпидемий стал возникать у многих и уже всё больше людей знают о вездесущей SIR модели. Но есть ли другие подобные модели? Насколько сложно из вообще создавать и модифицировать? Но обо всём по порядку.

За несколько месяцев до появления первых новостей о COVID-19 я для себя, так скажем, в образовательных целях программирования, начал писать программу визуализации эпидемий. В этой простой программе кружочки разных цветов двигались по полю и заражали друг друга. Через полгода, каким-то образом это уже стало темой моей дипломной работы (специальность «биоинженерия и биоинформатика») и пришлось по-настоящему вникать в математическое моделирование эпидемий для написания статей. Благо интернет вдруг стал наполняться эпидемиологическими материалами. Я это виду к тому, что работать я начал за некоторое время до того, как эпидемиология стала мейнстримом.

Прежде, чем обсуждать, свои разработки хотел рассказать немного о том, что узнал о математическом моделировании эпидемий.

Просто о SIR модели

Модель SIR, без упоминания которой не обходится почти ни одна статья по эпидемиологии, создана уже почти век назад. Она проста и элегантна, её много критикуют и много хвалят, как, собственно, любую сущность, которая применима лишь в определённых условиях и имеет свои допущения, о которых необходимо знать во время использования.

Я понимаю, что медиапространство заполнено всевозможными описаниями данной модели, поэтому я не побоюсь и добавлю ещё одно.

SIR модель. Всю популяцию, которая подвержена эпидемии, разделили на три группы: S (susceptible – восприимчивые, то есть здоровые, не заразные, но могут заразиться, так как не имеют иммунитета), I (infected – инфицированные, то есть болеют и заразны) и R (recovered – выздоровевшие, то есть здоровые, не заразные и не могут заразиться, так как имеют иммунитет). Очевидно, что до начала эпидемии 100 % индивидов находятся в группе S (восприимчивые) и по нулям в остальных группах. Для удобства будем считать, популяция в 100 человек, соответственно S = 100, I = 0, R = 0. В таких условиях эпидемия, конечно, не пойдёт, так как чтобы она началась, должен быть хотя бы один больной. Поэтому рассмотри другую ситуацию: S = 99, I = 1, R = 0. Вот теперь начнётся эпидемия и её моделирование заключается в последовательном высчитывания состояния популяции на следующем шаге.

Дальше чуть сложнее, чтобы понимать сколько людей заразиться на каждом шаге, надо понимать наличие двух вероятностей: вероятность контакта между двумя индивидами и вероятность заразить при контакте инфицированного с восприимчивым (β). Часто в модели для воплощения первой вероятности используют просто 1/N (N – объём популяции), подразумевая, что в каждый момент времени каждый индивид контактирует с одним случайным индивидом в популяции. А вторая вероятность (β), обеспечивает собственно биологический показатель заразности конкретного патогена (со всеми влияющим факторами: температура, наличие маски и т.п.).

Один инфицированный встретит и заразит в конкретный момент времени конкретного восприимчивого с вероятностью:

Тогда всего он заразит восприимчивых индивидов:

А все инфицированные вместе заразят восприимчивых

Таким образом, количество восприимчивых на втором шаге нашей модели уменьшиться на 0.99*β.

Ещё инфицированные выздоравливают, тоже с какой-то вероятностью (γ), которую часто рассматривают как число обратное времени болезни. Имеется в виду, что если болезнь длится 10 дней, то больной индивид в конкретный день выздоровеет с вероятностью γ = 1/10. Получается количество выздоравливающих на каждом шаге будет равно:

Количество инфицированных на втором шаге, помимо того, что увеличится на 0.99*β ещё уменьшится на 1*γ. Количество выздоровевших увеличится на 1*γ. Относительного полученного состояния будет высчитываться следующий шаг модели.

Таким образом модель формулируется следующими уравнениями:

Модификация SEIR

О SIR модели слышали теперь довольно многие. О существовании других моделей слышало уже меньше людей. Часто всё-таки вспоминают SEIR модель, которую рассматривают как модификацию SIR.

SEIR модель учитывает инкубационный период (E – exposed, индивиды болеют, но не заразны и со временем полностью заболеют). В такой модели заражение восприимчивых происходит таким же способом как в модели SIR, но попадают такие особи не в группу I, а в группу E. А из E с определённой вероятностью (α, число обратное длительности инкубационного периода) происходит переход уже в I.

Компартментальные модели в целом

Существует ещё много модификаций SIR моделей. Все они, включая саму SIR, являются представителями целого класса моделей, которые называют «компартментальными эпидемиологическими моделями». Упоминаемое выше разделение популяции на группы или компартменты (отсеки) как раз и обуславливает такое название моделей.

Сложность компартментальных моделей не ограничена тремя или четырьмя группами. Такие модели могут учитывать самые различные сценарии: введение карантинных мер (SIQR, добавляется группа Q – quarantine), потеря иммунитета (SIRS, переход с некоторой вероятностью из R обратно в S), группы риска у восприимчивых (несколько групп S: S1, S2, …, каждая из которых со своей вероятностью заражается), различные варианты течения болезни (несколько групп I: I1, I2, …, в каждую из которых своя вероятность попадания восприимчивых особей, а также у каждой допустим своя заразность) и т.д. Ограничением здесь является только фантазия исследователя.

Сложные схемы компартментальных моделей часто описывают в виде графа переходов. Вот, например модель для туберкулёза из книги по эпидемиологии :

Схема распространения туберкулёза

Реализация компартментальных моделей заключается в описании уравнений переходов и последующем расчёте изменений каждого компартмента в течение какого-то периода.

DEMMo (конструктор моделей)

В этом и заключается назначение разрабатываемой мной программы DEMMo. DEMMo – Designer of Epidemic Math Models (конструктор эпидемиологических математических моделей). Конструированные модели организуется в объектно-ориентированном виде. Есть класс стадии (аналог компартмента), класс потока (обеспечивает переход индивидов между стадиями) и внешнего потока (прибавление/вычитание индивидов к/из стадии). Подробную инструкцию по использованию программы попытался написать в документации .

Результаты различных моделей, реализованных с использованием программы

Программу писал на python. Интерфейс на PyQt5. Выложил исходный код программы на github (с git работал впервые) и архив с готовой версией для windows на гугл диск. Будем считать, что начинаю бета тестирование программы. Надеюсь, я хоть немного понятно объяснил и для тех, кому интересно, буду очень рад если программу жестоко поэксплуатируют. Вроде бы настроил систему создания отчётов об ошибках. Это мой первый крупный проект после задачек на ряды Фибоначчи и т.п.

Код очень плохо задокументирован, причём часть комментариев на русском, а часть на английском. Знаю, что плохо, каюсь. Надеюсь займусь этим. Если будут какие-то конкретные советы от матёрых программистов, буду очень рад.
Контактная почта: demmo.development@gmail.com

Так уж вышло, что актуальность темы моего диплома резко возросла за последние полтора года. Надеюсь, мейнстрим никого не отпугнул и кому-нибудь было интересно и познавательно. Спасибо за внимание.