Darbe.ru

Быт техника Дарби
1 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Иллюстрированный самоучитель по MathCAD 12

Иллюстрированный самоучитель по MathCAD 12

Уделим теперь небольшое внимание численным алгоритмам, которые используются в работе встроенных функций Find и root, чтобы читатель имел возможность применять их для решения алгебраических уравнений более осмысленно.

Итерационный алгоритм, реализованный в функции root, который называется методом секущих, состоит в следующем (рис. 5.7):

  1. Начальное приближение принимается за 0-е приближение к корню: х0=х.
  2. Выбирается шаг h=TOLх и определяется первое приближение к корню x1=x0+h. Если х=0, то принимается h=TOL.
  3. Через эти две точки проводится секущая – прямая линия, которая пересекает ось х в некоторой точке х2. Эта точка принимается за второе приближение.
  4. Новая секущая проводится через первую и вторую точки, тем самым определяя третье приближение, и т. д.
  5. Если на каком-либо шаге оказывается, что уравнение выполнено, т. е. |f (х)|<TOL, то итерационный процесс прерывается, и х выдается в качестве решения.

Рис. 5.7. Иллюстрация метода секущих

Результат, показанный на рис. 5.7, получен для погрешности вычислений, которой в целях иллюстративности предварительно присвоено значение TOL=0.5. Поэтому для поиска корня с такой невысокой точностью оказалось достаточно одной итерации. В вычислениях, приведенных в листингах 5.13-5.15 (см. разд. 5.2.2), погрешность TOL=0.001 была установлена по умолчанию, и решение, выданное численным методом, лежало намного ближе к истинному положению корня. Иными словами, чем меньше константа TOL, тем ближе к нулю будет значение f (х) в найденном корне, но тем больше времени будет затрачено вычислительным процессором Mathcad на его поиск.

Примечание
Соответствующий пример можно найти на компакт-диске, а также в Быстрых шпаргалках. Он расположен в разделе "Solving Equations" (Решение уравнений) и называется "Effects of TOL on Solving Equations" (Влияние константы TOL на решение уравнений)
.

Если уравнение неразрешимо, то при попытке найти его корень будет выдано сообщение об ошибке. Кроме того, к ошибке или выдаче неправильного корня может привести и попытка применить метод секущих в области локального максимума или минимума f (х). В этом случае секущая может иметь направление, близкое к горизонтальному, выводя точку следующего приближения далеко от предполагаемого положения корня. Для решения таких уравнений лучше применять другую встроенную функцию Minerr (см. разд. 6.2). Аналогичные проблемы могут возникнуть, если начальное приближение выбрано слишком далеко от настоящего решения или f (х) имеет особенности типа бесконечности.

Метод секущих в excel

Группа: Участник
Сообщений: 22

Подскажите, где взять коды методов 1) дитохомии 2) Ньютона 3) секущих 4) золотого сечения 5) последовательных минимумов
+ сортировки 1) очередь 2) вставками 3) пузырьковая
+ рекурсия (!!!!!!) ( и вообще можно поподробнее про это, а то мне вообще непонятно что это)

Группа: Участник
Сообщений: 433

Группа: Участник
Сообщений: 12

Группа: Участник
Сообщений: 12

Группа: Участник
Сообщений: 22

Группа: Участник
Сообщений: 433

// поиск места элемента в готовой последовательности
for ( j=i-1; j>=0 && a[j] > x; j—)
a[j+1] = a[j]; // сдвигаем элемент направо, пока не дошли

// поиск места элемента в готовой последовательности
for ( j=i-1; j>=0 && a[j] > x; j—)
a[j+1] = a[j]; // сдвигаем элемент направо, пока не дошли

Группа: Участник
Сообщений: 17

———————————————————————————
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ БИБЛИОТЕКИ
———————————————————————————
Все выше перечисленные методы реализованы на алгоритмическом языке C. Для компиляции функций библиотеки были использованы компиляторы Borland C++ 3.1 и Watcom C/C++ 11.0.
Для использования библиотеки в программу необходимо включить один из заголовочных файлов, содержащих прототипы функций. Для использования функций одномерной оптимизации нужна директива компиляции #include «monod.h»; для функций многомерной оптимизации — директива #include «multid.h»; для функций многомерной оптимизации с ограничениями — директива #include «multidr.h».
При компиляции программы необходимо указать пути к заголовочным файлам и библиотекам и библиотеки, которые надо подключать при компоновке. В результате компиляции и компоновки получаем исполняемый файл (с расширением *.exe), который и используется для нахождения оптимума.

где
includepath — путь к заголовочным файлам,
librarypath — путь к библиотекам,
c_program — программа на языке C,
library — подключаемая библиотека.

При использовании оболочки Borland надо провести следующие действия:
1.В главном меню выбрать пункт Options\Directories: и в строке ввода Include Directories добавить путь к заголовочным файлам библиотеки после символа ';'.
2.Создать проект, для чего в главном меню выбрать пункт Project\Open project: и в строке Open Project File ввести название проекта. В результате появится окно Project.
3.В главном меню выбрать пункт Project\Add item: и в появившемся диалоговом окне указать файл, содержащем программу, использующую библиотеку оптимизации.
4.С помощью пункта Project\Add item: указать все необходимые для программы библиотеки.

При использовании компилятора Watcom надо пользоваться следующей командой

где
includepath — путь к заголовочным файлам,
librarypath — путь к библиотекам,
c_program — программа на языке C,
library — подключаемая библиотека.

Читайте так же:
Как в биосе выставить загрузку с usb

Пример 1.
Необходимо найти минимум функции f(x,y)=8×2+4xy + 5y2 . Проведем вычисления методом Коши.
Программа будет иметь вид:
Примечание

/* Программа, которая использует функцию вычисления оптимума методом Коши */
#include
#include «multid.h» //подключение библиотеки (описание прототипов
функций)
double f(double *); // целевая функция
double df1(double *); // первая частная производная по x
double df2(double *); // первая частная производная по y

double (*df[2])(double *) = < df1, df2>;
double xs[2] = < 10., 10.>; v// начальная точка поиска
double xr[2]; // результат вычислений
long ks;
/*Основная программа*/
void main()
<
if( GradCauchy( f, df, xs, xr, 2, 0.1, 1e-5, 10000, &ks) )
printf(«f(%g,%g)=%g %ld шагов \n», xr[0], xr[1], f(xr), ks);
else
printf(«Минимум не найден за %ld шагов \n», ks);
printf(«\n»);
>
/*Вычисление функции*/
double f(double *x)
<
return 8*x[0]*x[0] + 4*x[0]*x[1] + 5*x[1]*x[1];
>
v/*Вычисление первой частной производной*/
double df1(double *x)
<
return 16*x[0] + 4*x[1];
>
/*Вычисление второй частной производной*/
double df2(double *x)
<
return 4*x[0] + 10*x[1];
>

Метод хорд

Геометрическое описание метода секущих [ править ]

Будем искать нуль функции f(x). Выберем две начальные точки C_<1 data-lazy-src=

<displaystyle left< 
 begin<array data-lazy-src=

k=frac<f(x_2)-f(x_1) data-lazy-src=

 x_<i+1 data-lazy-src=

Пример использования метода секущих [ править ]

Решим уравнение x^3 - 18x - 83 = 0 методом секущих. Зададимся точностью ε=0.001 и возьмём в качестве начальных приближений  x_0 и  x_1 концы отрезка, на котором отделён корень:  x_0=8 и x_1=3 , числовые значения  x_0=8 и x_1=3 выбраны произвольно. Вычисления ведутся до тех пор, пока выполняется неравенство  |x_<i+1 data-lazy-src=

Мы получили то же значение корня за то же число итераций.

Сходимость метода секущих [ править ]

Итерации метода секущих сходятся к корню f(x), если начальные величины x_0and x_1достаточно близки к корню. Метод секущих является быстрым . Порядок сходимости α, равен золотому сечению

 alpha = frac<1+sqrt<5 data-lazy-src=

Как и для большинства быстрых методов, для метода секущих трудно сформулировать условия сходимости. Если начальные точки достаточно близки к корню, то метод сходится, но нет общего определения «достаточной близости». Сходимость метода определяется, тем насколько функция «волниста» в [</p data-lazy-src=

Критерий и скорость сходимости метода хорд [ править ]

Если </p data-lazy-src=

Историческая справка [ править ]

Первым, кто смог найти приближённые решения кубических уравнений, был Диофант, тем самым заложив основу метода хорд. Сохранившиеся работы Диофанта сообщают об этом. Однако первым, кто понял его методы, был Ферма в XVII веке, а первым, кто дал объяснение методу хорд, был Ньютон (1670-е гг.). [2]

Пример кода [ править ]

Пример функции вычисления корня методом хорд на отрезке [а; b] на Си/Си++.

Модификации [ править ]

Метод ложного положения (англ.) отличается от метода секущих только тем, что всякий раз берутся не последние 2 точки, а те точки, которые находятся вокруг корня.

Метод половинного деления

Сущность метода половинного деления и шагового метода для решения нелинейных уравнений. Примеры решения нелинейных уравнений и определение их корня в программах в Pascal, Microsoft Excel, MathCAD. Анализ результатов и построение соответствующих графиков.

РубрикаМатематика
Видкурсовая работа
Языкрусский
Дата добавления08.06.2014
Размер файла287,4 K
Читайте так же:
Как в хроме настроить стартовую страницу

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Теория нелинейных уравнений и метод половинного деления

2. Нахождения корней нелинейного уравнения с заданной точностью

2.2 Microsoft Excel

Наука не стоит на месте и все время развивается. Нередко приходится встречаться с математическими задачами, для решения которых нужно пользоваться громоздкими формулами. Это неудобно. Возникла необходимость в развитии численных методов математического анализа, которые в сегодняшнем дне имеют важнейшее значение. В большинстве случаев численные методы являются приближенными. В ряде случаев численный метод строится на базе бесконечного процесса, который в пределе сводится к искомому решению. Однако реально предельный переход не удается осуществить, и процесс, прерванный на некотором шаге, дает приближенное решение. Одним из таких методов является метод бисекции или метод деления отрезка пополам (Метод половинного деления).

Цель — раскрыть содержание темы «Метод половинного деления». Закрепить ее путем выполнения курсовой работы. Создать программный продукт, который находит отрезок и искомый корень уравнения в этом отрезке при помощи шагового метода. Уточнить корень методом половинного деления.

1. Изучить метод половинного деления и шаговый метод для решения нелинейных уравнений.

2. Научиться решать нелинейные уравнения в Pascal, Microsoft Excel, MathCAD.

3. Решить данное уравнение и найти корни и построить графики.

4. Проанализировать результаты.

5. Сделать выводы.

1. Теория нелинейных уравнений и метод половинного деления

где функция f(x) определена и непрерывна на некотором конечном или бесконечном интервале x . В частности, в форме нелинейных уравнений представляются математические модели анализа статических свойств объектов проектирования или их элементов. Если функция f(x) представляет собой многочлен n-й степени видаa0 + a1 x + a2 x2 + . + anxn, то уравнение (1) называется алгебраическим. Когда x находится под знаком трансцендентной функции (показательной, логарифмической, тригонометрической и т.п.), уравнение называется трансцендентным. Значение аргумента x, при котором функция f(x) обращается в нуль, т.е. f(x*) = 0, называется корнем уравнения.

В общем случае для функции f(x) не существует аналитических формул для нахождения корней. Более того, их точное вычисление не всегда является необходимым. Это объясняется тем, что встречающиеся в инженерной практике уравнения часто содержат коэффициенты, величины которых имеют приближенные значения. В таких случаях решается задача определения корней с некоторой заранее заданной степенью точности.

В дальнейшем предполагаем, что уравнение (1) имеет только изолированные корни, т.е. для каждого из них существует некоторая окрестность, не содержащая других корней этого уравнения. Процесс нахождения изолированных действительных корней нелинейного уравнения включает два этапа:

1) отделение корней, т.е. нахождение интервалов [a, b], внутри которых содержится один и только один корень уравнения;

2) уточнение приближенных значений отдельных корней до заданной степени точности.

Этап отделения корней может быть выполнен различными способами. Во-первых, приближенное значение корня иногда бывает известно из физического смысла задачи. Во-вторых, для отделения корней может использоваться графический способ, основанный на построении графика функции

нелинейный уравнение половинный деление

где приближенные значения действительных корней уравнения f(x) = 0 соответствуют абсциссам точек пересечения или касания графика с осью 0x (y = 0). Наиболее часто применяется метод отделения корней, основанный на следующем положении: если на концах некоторого интервала [a, b] значения непрерывной функции f(x) имеют разные знаки, т.е. f(a)f(b) , то на этом интервале уравнение (1) имеет хотя бы один корень. При этом корень является единственным, если производная функции f'(x) существует и сохраняет постоянный знак внутри интервала [a, b].Рассмотрим простейший алгоритм отделения корней нелинейных уравнений, ориентированный на использование ЭВМ. Исходный интервал [, ], на котором определена и непрерывна функция f(x), разбивается на n отрезков равной длины

(x0, x1), (x1, x2), . (xn -1, xn),где x0 x1 . xn и x0 = , xn =

Затем вычисляются значения функции f(xj) в точках xj (j =) и выбирается отрезок (xi, xi+1), на концах которого функция имеет разные знаки, т.е. f(xi)f(xi+1) 0. Если длина этого отрезка достаточно мала (можно предположить единственность корня), то считается, что корень отделен на интервале [a, b], где a = xi, b = xi+1. В противном случае границы исходного интервала сдвигаются, т.е. = xi, = xi + 1, и процедура повторяется.

Необходимо отметить, что длина исходного интервала [], на котором определена функция f(x), может изменяться в широких пределах. Поэтому число отрезков n, а также длина искомого интервала [a, b] являются переменными величинами, которые должны задаваться в каждом конкретном случае с учетом физического смысла решаемой задачи.

На втором этапе решения нелинейных уравнений полученные приближенные значения корней уточняются различными итерационными методами до некоторой заданной погрешности.

Читайте так же:
Можно ли восстановить удаленный аккаунт в инстаграм

Метод половинного деления. Для этого метода существенно, чтобы функция f(x) была непрерывна и ограничена в заданном интервале [a, b], внутри которого находится корень. Предполагается также, что значения функции на концах интервала f(a) и f(b) имеют разные знаки, т.е. выполняется условие f(a)f(b) .

Обозначим исходный интервал [a, b] как [a0, b0]. Для нахождения корня уравнения f(x) = 0 отрезок [a0, b0] делится пополам, т.е. вычисляется начальное приближение x0 = (a0 + b0)/2. Если f(x0) = 0, то значение x0 = x* является корнем уравнения. В противном случае выбирается один из отрезков [a0, x0] или [x0, b0], на концах которого функция f(x) имеет разные знаки, так как корень лежит в этой половине. Далее выбранный отрезок обозначается как [a1, b1], вновь делится пополам точкой x1 = (a1 + b1)/2 и т.д. В результате на некоторой итерации получается точный корень x* уравнения f(x) = 0, либо бесконечная последовательность вложенных отрезков [a0, b0], [a1, b1], . [ai, bi], . таких, что f(ai)f(bi) (i =1, 2, . ), сходящихся к корню x*.

Если требуется определить корень x* с погрешностью , то деление исходного интервала [a, b] продолжают до тех пор, пока длина отрезка [ai, bi] не станет меньше 2, что записывается в форме условия bi — ai 2.

В этом случае середина последнего интервала [ai, bi] с требуемой степенью точности дает приближенное значение корня

Метод половинного деления легко реализуется на ЭВМ и является наиболее универсальным среди итерационных методов уточнения корней. Его применение гарантирует получение решения для любой непрерывной функции f(x), если найден интервал, на котором она изменяет знак. В том случае, когда корни не отделены, будет найден один из корней уравнения. Метод всегда сходится, но скорость сходимости является небольшой, так как за одну итерацию точность увеличивается примерно в два раза. Поэтому на практике метод половинного деления обычно применяется для грубого нахождения корней уравнения, поскольку при повышении требуемой точности значительно возрастает объем вычислений.

2. Нахождение корней нелинейного уравнения

2.1 MathCAD. Шаговый метод

MathCAD. Метод половинного деления

1. Ввести в позиции ввода рабочего аргумента выражение, описывающее функцию

2. Вести граничные значения отрезка изоляции: a:=0 и b:=5

3. Ввести значение данной погрешности: e:=0,001.

4. Выбрать на панели инструментов кнопку «инструменты программирования».

5. Ввести в позиции поля ввода имя новой функции и знак присвоить значение: pol(f,a,b,e):=

6. На панели «Программирование» выбрать «AddLine» — добавить строку программы.

7. В первый темный прямоугольник добавить запись «while», находящуюся на панели«Программирование»:

8. Условие циклы в темном прямоугольнике, стоящем после while: |b-a|>e.

9. В следующем темном прямоугольнике, расположенным под while, задать тело цикла: добавить строку программы, в первом темном прямоугольнике ввести:

Для ввода использовать кнопку «Локальное присвоение» на панели «Программирование»:

10. В следующем темном прямоугольнике, прежде чем вводить выражение, добавить строку программы, а затем в нем же ввести выражение:

(функцию if выбрать на панели «Программирование» перед тем как вводить выражение).

11. Затем строкой ниже ввести:

(данную функцию выбрать на панели «Программирование» перед тем как вводить выражение).

12. В самом нижнем темном прямоугольнике ввести переменную вывода: c.

13. В поле ввода, под программой, набрать pol(f,a,b,e), затем нажать знак равенства.

2.3 Microsoft Excel. Шаговый метод

Microsoft Excel. Метод половинного деления

1. Заполнить ячейки A1:H1 последовательно следующим образом: a, b, c=(a+b)/2, f(a), f(b), f(c), |b-a|<=e.

2. Ввести в ячейку A2 число 0, в ячейку B2 — число 0.5.

3. В ячейку C2 ввести формулу: =(A2+B2)/2.

4. В ячейку D2 ввести формулу: =2^A2-4*A2, скопировать эту формулу в ячейки E2:F2.

5. Ввести в ячейку G2 формулу: =ЕСЛИ(ABS(B2-A2)<=2*$H$2;C2; «-«).

6. Ввести в ячейку H2 число 0,001.

7. В ячейку A3 ввести формулу: =ЕСЛИ(D2*F2<0;A2;C2).

8. В ячейку B3 ввести формулу: =ЕСЛИ(D2*F2<0;C2;B2).

9. Диапазон ячеек C2:G2 скопировать в диапазон ячеек C3:G3.

10. Выделить диапазон ячеек A3:G3 и с помощью маркера заполнения заполнить все нижестоящие ячейки до получения результата в одной из ячеек столбца G (это ячейки A3:G53).

Секущий метод — Secant method

В численном анализе , то секущий метод является численным решением уравнений , который использует последовательность корней из секущих линий , чтобы лучше аппроксимировать корень функции F . Метод секущих можно рассматривать как конечно-разностную аппроксимацию метода Ньютона . Однако метод секущей предшествует методу Ньютона более чем на 3000 лет.

СОДЕРЖАНИЕ

Метод

Икс п знак равно Икс п — 1 — ж ( Икс п — 1 ) Икс п — 1 — Икс п — 2 ж ( Икс п — 1 ) — ж ( Икс п — 2 ) знак равно Икс п — 2 ж ( Икс п — 1 ) — Икс п — 1 ж ( Икс п — 2 ) ж ( Икс п — 1 ) — ж ( Икс п — 2 ) . < displaystyle x_ = x_ -f (x_ ) < frac -x_ > ) — f (x_ )>> = < frac f (x_ ) — x_ f (x_ ) > ) — f (x_ )>>.>

Читайте так же:
Как включить secure boot в биосе

Как видно из рекуррентного соотношения, метод секущей требует двух начальных значений, x и x 1 , которые в идеале следует выбирать так, чтобы они лежали близко к корню.

Вывод метода

Начиная с начальных значений x и x 1 , мы строим линию через точки ( x , f ( x )) и ( x 1 , f ( x 1 )) , как показано на рисунке выше. В форме наклон-пересечение уравнение этой прямой имеет вид

у знак равно ж ( Икс 1 ) — ж ( Икс 0 ) Икс 1 — Икс 0 ( Икс — Икс 1 ) + ж ( Икс 1 ) . < displaystyle y = < frac ) — f (x_ <0>)> -x_ <0>>> (x-x_ <1>) + f (x_ < 1>).>

Корень этой линейной функции, то есть значение x такое, что y = 0, равно

Икс знак равно Икс 1 — ж ( Икс 1 ) Икс 1 — Икс 0 ж ( Икс 1 ) — ж ( Икс 0 ) . < displaystyle x = x_ <1>-f (x_ <1>) < frac -x_ <0>> ) — f (x_ <0>)>>. >

Затем мы используем это новое значение x как x 2 и повторяем процесс, используя x 1 и x 2 вместо x и x 1 . Мы продолжаем этот процесс, решая для x 3 , x 4 и т. Д., Пока не достигнем достаточно высокого уровня точности (достаточно малая разница между x n и x n −1 ):

Конвергенция

Итерации метода секущей сходятся к корню из начальных значений и достаточно близки к корню. Порядок сходимости является φ , где Икс п < displaystyle x_ > ж < displaystyle f>Икс 0 < displaystyle x_ <0>> Икс 1 < displaystyle x_ <1>>

это золотое сечение . В частности, сходимость суперлинейная, но не совсем квадратичная .

Этот результат верен только при некоторых технических условиях, а именно, чтобы он был дважды непрерывно дифференцируемым и рассматриваемый корень был простым (т. Е. С кратностью 1). ж

Если начальные значения недостаточно близки к корню, то нет гарантии, что метод секущей сходится. Не существует общего определения понятия «достаточно близко», но критерий связан с тем, насколько «волнистой» является функция на интервале . Например, если дифференцируемо на этом интервале и есть точка, где на интервале, то алгоритм может не сходиться. [ Икс 0 , Икс 1 ] < Displaystyle [х_ <0>, х_ <1>]> ж < displaystyle f>ж ′ знак равно 0

Сравнение с другими методами поиска корней

Метод секущей не требует, чтобы корень оставался заключенным в квадратные скобки, в отличие от метода деления пополам , и, следовательно, он не всегда сходится. Метод ложного положения (или regula falsi ) использует ту же формулу, что и метод секущей. Однако он не применяет формулу к и , как метод секущей, а к последней итерации , так что и имеют другой знак. Это означает, что метод ложного положения всегда сходится; однако только с линейным порядком сходимости. Брекетинг с суперлинейным порядком сходимости в качестве метода секущей может быть достигнут с помощью улучшений метода ложного положения (см. Regula falsi § Улучшения в regula falsi ), таких как метод ITP или метод Иллинойса . Икс п — 1 < displaystyle x_ > Икс п — 2 < displaystyle x_ > Икс п — 1 < displaystyle x_ > Икс k < displaystyle x_ > ж ( Икс k ) < displaystyle f (x_ )> ж ( Икс п — 1 ) < displaystyle f (x_ )>

Формула рекуррентности метода секущих может быть получена из формулы метода Ньютона

Метод секущей можно интерпретировать как метод, в котором производная заменяется приближением и, таким образом, является квазиньютоновским методом .

Если мы сравним метод Ньютона с методом секущих, мы увидим, что метод Ньютона сходится быстрее (порядок 2 против φ ≈ 1,6). Однако метод Ньютона требует оценки как обоих, так и их производной на каждом шаге, в то время как метод секущих требует только оценки . Следовательно, на практике метод секущей иногда может быть более быстрым. Например, если мы предположим, что оценка занимает столько же времени, сколько и оценка ее производной, и пренебрегаем всеми другими затратами, мы можем выполнить два шага метода секущей (уменьшение логарифма ошибки на коэффициент φ 2 ≈ 2,6) для того же стоимость как один шаг метода Ньютона (уменьшение логарифма ошибки в 2 раза), поэтому метод секущей работает быстрее. Если, однако, мы рассматриваем параллельную обработку для вычисления производной, метод Ньютона доказывает свою ценность, будучи более быстрым во времени, хотя при этом затрачивая больше шагов. ж < displaystyle f>ж ′ < displaystyle f '>ж < displaystyle f>ж

Обобщения

Метод Бройдена — это обобщение метода секущих более чем на одно измерение.

На следующем графике функция f показана красным цветом, а последняя секущая линия — жирным синим. На графике пересечение секущей линии по оси x кажется хорошим приближением к корню из f .

Вычислительный пример

Ниже метод секущей реализован на языке программирования Python .

Затем он применяется для нахождения корня функции f ( x ) = x 2 — 612 с начальными точками и Икс 0 знак равно 10 < displaystyle x_ <0>= 10> Икс 1 знак равно 30 < displaystyle x_ <1>= 30>

голоса
Рейтинг статьи
Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector