Darbe.ru

Быт техника Дарби
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Метод последовательных приближений в excel

Метод последовательных приближений в excel

Мощным средством анализа данных Excel является надстройка Solver (Поиск решения) . С ее помощью можно определить, при каких значениях указанных влияющих ячеек формула в целевой ячейке принимает нужное значение (минимальное, максимальное или равное какой-либо величине). Для процедуры поиска решения можно задать ограничения, причем не обязательно, чтобы при этом использовались те же влияющие ячейки. Для расчета заданного значения применяются различные математические методы поиска. Вы можете установить режим, в котором полученные значения переменных автоматически заносятся в таблицу. Кроме того, результаты работы программы могут быть оформлены в виде отчета.
Программа Поиск решений (в оригинале Excel Solver) – дополнительная надстройка табличного процессора MS Excel, которая предназначена для решения определенных систем уравнений, линейных и нелинейных задач оптимизации, используется с 1991 года.
Размер задачи, которую можно решить с помощью базовой версии этой программы, ограничивается такими предельными показателями:

  • количество неизвестных (decision variable) – 200;
  • количество формульных ограничений (explicit constraint) на неизвестные – 100;
  • количество предельных условий (simple constraint) на неизвестные – 400.

Разработчик программы Solver компания Frontline System уже давно специализируется на разработке мощных и удобных способов оптимизации, встроенных в среду популярных табличных процессоров разнообразных фирм-производителей (MS Excel Solver, Adobe Quattro Pro, Lotus 1-2-3).
Высокая эффективность их применения объясняется интеграциею программы оптимизации и табличного бизнес-документа. Благодаря мировой популярности табличного процессора MS Excel встроенная в его среду программа Solver есть наиболее распространенным инструментом для поиска оптимальных решений в сфере современного бизнеса.
По умолчанию в Excel надстройка Поиск решения отключена. Чтобы активизировать ее в Excel 2007 , щелкните значок Кнопка Microsoft Office , щелкните Параметры Excel , а затем выберите категорию Надстройки . В поле Управление выберите значение Надстройки Excel и нажмите кнопку Перейти . В поле Доступные надстройки установите флажок рядом с пунктом Поиск решения и нажмите кнопку ОК .

В Excel 2003 и ниже выберите команду Сервис/Надстройки , в появившемся диалоговом окне Надстройки установите флажок Поиск решения и щелкните на кнопке ОК. Если вслед за этим на экране появится диалоговое окно с предложением подтвердить ваши намерения, щелкните на кнопке Да. (Возможно, вам понадобится установочный компакт-диск Office).

Процедура поиска решения
1. Создайте таблицу с формулами, которые устанавливают связи между ячейками.

2. Выделите целевую ячейку, которая должна принять необходимое значение, и выберите команду:
— В Excel 2007 Данные/Анализ / Поиск решения ;
— В Excel 2003 и ниже Tools > Solver (Сервис > Поиск решения). Поле Set Target Cell (Установить целевую ячейку) открывшегося диалогового окна надстройки Solver (Поиск решения) будет содержать адрес целевой ячейки.
3. Установите переключатели Equal To (Равной), задающие значение целевой ячейки, — Мах (максимальному значению), Min (минимальному значению) или Value of (значению). В последнем случае введите значение в поле справа.
4. Укажите в поле By Changing Cells (Изменяя ячейки), в каких ячейках программа должна изменять значения в поисках оптимального результата.
5. Создайте ограничения в списке Subject to the Constraints (Ограничения). Для этого щелкните на кнопке Add (Добавить) и в диалоговом окне Add Constraint (Добавление ограничения) определите ограничение.

6. Щелкните на кнопке на кнопке Options (Параметры), и в появившемся окне установите переключатель Неотрицательные значения (если переменные должны быть позитивными числами), Линейная модель (если задача, которую вы решаете, относится к линейным моделям)

8. Когда появится диалоговое окно Solver Results (Результаты поиска решения), выберите переключатель Keep Solve Solution (Сохранить найденное решение) или Restore Original Values (Восстановить исходные значения).
9. Щелкните на кнопке ОК.

Параметры средства Поиск решения
Максимальное время — служит для ограничения времени, отпущенного на поиск решения задачи. В этом поле можно ввести время в секундах, не превышающее 32 767 (примерно девять часов); значение 100, используемое по умолчанию, вполне приемлемо для решения большинства простых задач.

Предельное число итераций — управляет временем решения задачи путем ограничения числа вычислительных циклов (итераций).
Относительная погрешность — определяет точность вычислений. Чем меньше значение этого параметра, тем выше точность вычислений.
Допустимое отклонение — предназначен для задания допуска на отклонение от оптимального решения, если множество значений влияющей ячейки ограничено множеством целых чисел. Чем больше значение допуска, тем меньше времени требуется на поиск решения.
Сходимость — применяется только к нелинейным задачам. Когда относительное изменение значения в целевой ячейке за последние пять итераций становится меньше числа, указанного в поле Сходимость, поиск прекращается.
Линейная модель — служит для ускорения поиска решения путем применения к задаче оптимизации линейной модели. Нелинейные модели предполагают использование нелинейных функций, фактора роста и экспоненциального сглаживания, что замедляет вычисления.
Неотрицательные значения — позволяет установить нулевую нижнюю границу для тех влияющих ячеек, для которых не было задано соответствующее ограничение в диалоговом окне Добавить ограничение.
Автоматическое масштабирование — используется, когда числа в изменяемых ячейках и в целевой ячейке существенно различаются.
Показывать результаты итераций — приостанавливает поиск решения для просмотра результатов отдельных итераций.
Загрузить модель — после щелчка на этой кнопке отрывается одноименное диалоговое окно, в котором можно ввести ссылку на диапазон ячеек, содержащих модель оптимизации.
Сохранить модель — служит для отображения на экране одноименного диалогового окна, в
котором можно ввести ссылку на диапазон ячеек, предназначенный для хранения модели оптимизации.
Оценка линейная — выберите этот переключатель для работы с линейной моделью.
Оценка квадратичная — выберите этот переключатель для работы с нелинейной моделью.
Разности прямые — используется в большинстве задач, где скорость изменения ограничений относительно невысока. Увеличивает скорость работы средства Поиск решения.
Разности центральные — используется для функций, имеющих разрывную производную. Данный способ требует больше вычислений, однако его применение может быть оправданным, если выдано сообщение о том, что получить более точное решение не удается.
Метод поиска Ньютона — требует больше памяти, но выполняет меньше итераций, чем в методе сопряженных градиентов.
Метод поиска сопряженных градиентов — реализует метод сопряженных градиентов, для которого требуется меньше памяти, но выполняется больше итераций, чем в методе Ньютона. Данный метод следует использовать, если задача достаточно большая и необходимо экономить память или если итерации дают слишком малое отличие в последовательных приближениях.

Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений

В данной статье мы расскажем общие сведения об итерационных методах решения СЛАУ, познакомим с методом Зейделя и Якоби, а также приведем примеры решения систем линейных уравнений при помощи данных методов.

Общие сведения об итерационных методах или методе простой итерации

Метод итерации — это численный и приближенный метод решения СЛАУ.

Суть: нахождение по приближённому значению величины следующего приближения, которое является более точным. Метод позволяет получить значения корней системы с заданной точностью в виде предела последовательности некоторых векторов (итерационный процесс). Характер сходимости и сам факт сходимости метода зависит от выбора начального приближения корня x 0 .

Рассмотрим систему A x = b .

Чтобы применить итерационный метод, необходимо привести систему к эквивалентному виду x = B x + d . Затем выбираем начальное приближение к решению СЛАУ x ( 0 ) = ( x 1 0 , x 2 0 , . . . x m 0 ) и находим последовательность приближений к корню.

Для сходимости итерационного процесса является достаточным заданное условие В < 1 . Окончание итерации зависит от того, какой итерационный метод применили.

Метод Якоби

Метод Якоби — один из наиболее простых методов приведения системы матрицы к виду, удобному для итерации: из 1-го уравнения матрицы выражаем неизвестное x 1 , из 2-го выражаем неизвестное x 2 и т.д.

Результатом служит матрица В , в которой на главной диагонали находятся нулевые элементы, а все остальные вычисляются по формуле:

b i j = — a i j / a i i , i , j = 1 , 2 . . . , n

Элементы (компоненты) вектора d вычисляются по следующей формуле:

d i = b i / a i i , i = 1 , 2 , . . . , n

Расчетная формула метода простой итерации:

x ( n + 1 ) = B x ( x ) + d

Матричная запись (координатная):

x i ( n + 1 ) = b i 1 x n 1 + b i 2 x ( n ) 2 + . . . + b

Критерий окончания в методе Якоби:

x ( n + 1 ) — x ( n ) < ε 1 , где ε 1 = 1 — B B ε

В случае если B < 1 / 2 , то можно применить более простой критерий окончания итераций:

x ( n + 1 ) — x ( n ) < ε

Решить СЛАУ методом Якоби:

10 x 1 + x 2 — x 3 = 11 x 1 + 10 x 2 — x 3 = 10 — x 1 + x 2 + 10 x 3 = 10

Необходимо решить систему с показателем точности ε = 10 — 3 .

Приводим СЛАУ к удобному виду для итерации:

x 1 = — 0 , 1 x 2 + 0 , 1 x 3 + 1 , 1 x 2 = — 0 , 1 x 1 + 0 , 1 x 3 + 1 x 3 = 0 , 1 x 1 — 0 , 1 x 2 + 1

Выбираем начальное приближение, например: x ( 0 ) = 1 , 1 1 1 — вектор правой части.

В таком случае, первая итерация имеет следующий внешний вид:

x 1 ( 1 ) = — 0 , 1 × 1 + 0 , 1 × 1 + 1 , 1 = 1 , 1 x 2 ( 1 ) = — 0 , 1 × 1 , 1 + 0 , 1 + 1 = 0 , 99 x 3 ( 1 ) = 0 , 1 × 1 , 1 — 0 , 1 × 1 + 1 = 1 , 01

Аналогичным способом вычисляются приближения к решению:

x ( 2 ) = 1 , 102 0 , 991 1 , 011 , x ( 3 ) = 1 , 102 0 , 9909 1 , 0111 , x ( 4 ) = 1 , 10202 0 , 99091 1 , 01111

Находим норму матрицы В , для этого используем норму B ∞ .

Поскольку сумма модулей элементов в каждой строке равна 0,2, то B ∞ = 0 , 2 < 1 / 2 , поэтому можно вычислить критерий окончания итерации:

x ( n + 1 ) — x ( n ) < ε

Далее вычисляем нормы разности векторов:

x ( 3 ) — x ( 2 ) ∞ = 0 , 002 , x ( 4 ) — x ( 3 ) ∞ = 0 , 00002 .

Поскольку x ( 4 ) — x ( 3 ) ∞ < ε , то можно считать, что мы достигли заданной точности на 4-ой итерации.

x 1 = 1 , 102 ; x 2 = 0 , 991 ; x 3 = 1 ,01 1 .

Метод Зейделя

Метод Зейделя — метод является модификацией метода Якоби.

Суть: при вычислении очередного ( n + 1 ) — г о приближения к неизвестному x i при i > 1 используют уже найденные ( n + 1 ) — е приближения к неизвестным x 1 , x 2 , . . . , x i — 1 , а не n — о е приближение, как в методе Якоби.

x i ( n + 1 ) = b i 1 x 1 ( n + 1 ) + b i 2 x 2 ( n + 1 ) + . . . + b i , i — 1 x i — 2 ( n + 1 ) + b i , i + 1 x i + 1 ( n ) +

+ . . . + b i m x m ( n ) + d i

За условия сходимости и критерий окончания итераций можно принять такие же значения, как и в методе Якоби.

Решить СЛАУ методом Зейделя. Пусть матрица системы уравнений А — симметричная и положительно определенная. Следовательно, если выбрать начальное приближение, метод Зейделя сойдется. Дополнительных условий на малость нормы некоторой матрицы не накладывается.

Решим 3 системы уравнений:

2 x 1 + x 2 = 3 x 1 — 2 x 2 = 1 , x 1 + 2 x 2 = 3 2 x 1 — x 2 = 1 , 2 x 1 — 0 , 5 x 2 = 3 2 x 1 + 0 , 5 x 2 = 1

Приведем системы к удобному для итерации виду:

x 1 ( n + 1 ) = — 0 , 5 x 2 ( n ) + 1 , 5 x 2 ( n + 1 ) = 0 , 5 x 1 ( n + 1 ) + 0 , 5 , x 1 ( n + 1 ) = — 2 x 2 ( n ) + 3 x 2 ( n + 1 ) = 2 x 1 ( n + 1 ) — 1 , 2 x 1 — 0 , 5 x 2 = 3 2 x 1 + 0 , 5 x 2 = 1 .

Отличительная особенность, условие сходимости выполнено только для первой системы:

Вычисляем 3 первых приближения к каждому решению:

1-ая система: x ( 0 ) = 1 , 5 — 0 , 5 , x ( 1 ) = 1 , 75 0 , 375 , x ( 2 ) = 1 , 3125 0 , 1563 , x ( 3 ) = 1 , 4219 0 , 2109

Решение: x 1 = 1 , 4 , x 2 = 0 , 2 . Итерационный процесс сходится.

2-ая система: x ( 0 ) = 3 — 1 , x ( 1 ) = 5 9 , x ( 2 ) = — 15 — 31 , x ( 3 ) = 65 129

Итерационный процесс разошелся.

Решение: x 1 = 1 , x 2 = 2

3-я система: x ( 0 ) = 1 , 5 2 , x ( 1 ) = 2 — 6 , x ( 2 ) = 0 2 , x ( 3 ) = 0 2

Итерационный процесс зациклился.

Решение: x 1 = 1 , x 1 = 2

Метод простой итерации

Если А — симметричная и положительно определенная, то СЛАУ приводят к эквивалентному виду:

x = x — τ ( A x — b ) , τ — итерационный параметр.

Расчетная формула имеет следующий внешний вид:

x ( n + 1 ) = x ( n ) — τ ( A x n — b ) .

Здесь B = E — τ A и параметр τ > 0 выбирают таким образом, чтобы по возможности сделать максимальной величину B 2 .

Пусть λ m i n и λ m a x — максимальные и минимальные собственные значения матрицы А .

τ = 2 / ( λ m i n + λ m a x ) — оптимальный выбор параметра. В этом случае B 2 принимает минимальное значение, которое равняется ( λ m i n + λ m a x ) / ( λ m i n — λ m a x ) .

Решение уравнений средствами EXCEL

Аналитическое решение нелинейных уравнений существует только для узкого круга типов уравнений. Доказано, что алгебраические уравнения выше четвертой степени неразрешимы в элементарных функциях. Поэтому решение уравнения сводят к численному решению.

Нахождение приближенного решения проводят в два этапа. На первом этапе производится отделение корней – поиск интервалов, в которых содержится только по одному корню. Второй этап решения связан с уточнением корня в выбранном интервале (определением значения корня с заданной точностью).

В общем случае отделение корней уравнения f(x)=0 базируется на известной теореме, утверждающей, что если непрерывная функция f(x) на концах отрезка [a,b] имеет значения разных знаков, т.е. f(a)×f(b)≤0, то в указанном промежутке содержится хотя бы один корень. Например, для уравнения f(x) = x 3 -6x+2 = 0 видим, что при x →∞ f(x)>0, при x → — ∞ f(x)<0, что уже свидетельствует о наличии хотя бы одного корня. В общем случае выбирают некоторый диапазон, где могут обнаружиться корни, и осуществляют прогон по этому диапазону с выбранным шагом h для обнаружения перемены знаков f(x), т.е. f(x)×f(x+h)<0. Кроме того, можно построить график данной функции и найти, где, примерно, кривая пересекает ось x.

Метод бисекций (дихотомии)

Самым простейшим из методов уточнения корней нелинейных уравнений является метод половинного деления, или метод дихотомии, предназначенный для нахождения корней уравнений, представленных в виде f(x)=0.

Пусть непрерывная функция f(x) на концах отрезка [a,b] имеет значения разных знаков, т.е. f(a)×f(b) ≤ 0 (рис. 1), тогда на отрезке имеется хотя бы один корень.

Возьмем середину отрезка с=(a+b)/2. Если f(a)×f(с)≤ 0, то корень принадлежит отрезку от a до (a+b)/2 и в противном случае от (a+b)/2 до b.

Поэтому берем подходящий из этих отрезков, вычисляем значение функции в его середине и т.д. до тех пор, пока длина очередного отрезка не окажется меньше заданной предельной абсолютной погрешности (b-a) < ε.

Так как каждое очередное вычисление середины отрезка c и значения функции f(c) сужает интервал поиска вдвое, то при исходном отрезке [a,b] и предельной погрешности ε количество вычислений n определяется условием (b-a)/2 n < ε, или n

log2((b-a)/ε). Например, при исходном единичном интервале и точности порядка 6 знаков ( ε ≈ 10 -6 ) после десятичной точки достаточно провести 20 вычислений (итераций) значений функции.

Метод Ньютона

Данный метод еще называют методом касательных, т.к. основная идея метода заключается в последовательном построении касательных в точках, выбираемых по определенному алгоритму. Причем первая точка, называемая начальным приближением, выбирается заранее. Пусть известно некоторое приближенное значение Zn корня X * . Применяя формулу Тейлора и ограничиваясь в ней

двумя членами, имеем

Геометрическое решение этого метода заключается, как упоминалось ранее, в построении касательной к кривой y = f(x) в выбранной точке x = Zn. Далее находится точка пересечения этой касательной с осью абсцисс, и эта точка принимается за очередное приближение к корню (рис. 3).

Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Метод касательных в excel. Численные методы в Excel

При прохождении темы численные методы учащиеся уже умеют работать с электронными таблицами и составлять программы на языке паскаль. Работа комбинированного характера.Расчитана на 40 минут. Цель работы повторить и закрепить навыки паботы с программами EXCEL, ABCPascal. Материал содержит 2 файла. Один содержит теоретический материал, так как он и предлагается ученику. Во 2-м файле пример работы ученика Иванова Ивана.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Аналитическое решение некоторых уравнений, содержащих, например тригонометрические функции может быть получено лишь для единичных частных случаев. Так, например, нет способа решить аналитически даже такое простое уравнение, как cos x=x

Численные методы позволяют найти приближенное значение корня с любой заданной точностью.

Приближённое нахождение обычно состоит из двух этапов:

1) отделение корней, т.е. установление возможно точных промежутков , в которых содержится только один корень уравнения;

2) уточнение приближённых корней, т.е. доведение их до заданной степени точности.

Мы будем рассматривать решения уравнений вида f(x)=0. Функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [а.Ь]. Значение х 0 называется корнем уравнения если f(х 0 )=0

Для отделения корней будем исходить из следующих положений:

  • Если f(a)* f(b] a, b существует, по крайней мере, один корень
  • Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке , и f(a)*f(b) и f «(x) на интервале (a, b) сохраняет знак, то внутри отрезка [а, b] существует единственный корень уравнения

Приближённое отделение корней можно провести и графически. Для этого уравнение (1) заменяют равносильным ему уравнением р(х) = ф(х), где функции р(х) и ф(х] более простые, чем функция f(x). Тогда, построив графики функций у = р(х) и у = ф(х), искомые корни получим, как абсциссы точек пересечения этих графиков

Для уточнения корня разделим отрезок [а, b] пополам и вычислим значение функции f(х) в точке x sr =(a+b)/2. Выбираем ту из половин или , на концах которых функция f(x) имеет противоположные знаки.. Продолжаем процесс деления отрезка пополам и проводим то же рассмотрение до тех пор, пока. длина станет меньше заданной точности . В последнем случае за приближённое значение корня можно принять любую точку отрезка (как правило, берут его середину). Алгоритм высокоэффективен, так как на каждом витке (итерации) интервал поиска сокращается вдвое; следовательно, 10 итераций сократят его в тысячу раз. Сложности могут возникнуть с отделением корня у сложных функций.

Для приближенного определения отрезка на котором находится корень можно воспользоваться табличным процессором, построив график функции

ПРИМЕР : Определим графически корень уравнения . Пусть f1(х) = х , a и построим графики этих функций. (График). Корень находится на интервале от 1 до 2. Здесь же уточним значение корня с точностью 0,001(на доске шапка таблицы)

Алгоритм для программной реализации

  1. а:=левая граница b:= правая граница
  2. m:= (a+b)/2 середина
  3. определяем f(a) и f(m)
  4. если f(a)*f(m)
  5. если (a-b)/2>e повторяем, начиная с пункта2

Точки графика функции на концах интервала соединяются хордой. Точка пересечения хорды и оси Ох (х*) и используется в качестве пробной. Далее рассуждаем так же, как и в предыдущем методе: если f(x a ) и f(х*) одного знака на интервале, нижняя граница переносится в точку х*; в противном случае – переносим верхнюю границу. Далее проводим новую хорду и т.д.

Осталось только уточнить, как найти х*. По сути, задача сводится к следующей: через 2 точки с неизвестными координатами (х 1 , у 1 ) и (х 2 , у 2 ) проведена прямая; найти точку пересечения этой прямой и оси Ох.

Запишем уравнение прямой по двум точках:

В точке пересечения этой прямой и оси Ох у=0, а х=х*, то есть

процесс вычисления приближённых значений продолжается до тех пор, пока для двух последовательных приближений корня х„ и х п _1 не будет выполняться условие abs(xn-x n-1 ) е — заданная точность

Сходимость метода гораздо выше предыдущего

Алгоритм различается только в пункте вычисления серединной точки- пересечения хорды с осью абсцисс и условия останова (разность между двумя соседними точками пересечения)

Уравнения для самостоятельного решения: (отрезок в excel ищем самостоятельно)

  1. sin(x/2)+1=x^2 (х=1,26)
  1. x-cosx=0 (х=0,739)
  1. x^2+4sinx=0 (х=-1,933)
  1. x=(x+1) 3 (х=-2,325)

В этом разделе приведены примеры решенных задач разных разделов вычислительной математики, выполненные в пакете электронных таблиц Excel.

Примеры решений по численным методам в Эксель

Задача 1. Найти стационарные точки, проверить их на экстремальность, а также найти все локальные и глобальные максимумы и минимумы.

Задача 2. Решить приближенно уравнение $2x^3+3x-9=0$

Задача 3. Уплотнить часть $$ таблицы заданной функции с шагом $H$, пользуясь интерполяционными формулами Ньютона. Составить таблицу конечных разностей. В каждом столбце, начиная с четвертого, будет на одно число меньше, чем в предыдущем. Результаты вычислений значений функции в промежуточных точках расположить в таблице. Интерполяционные формулы Ньютона дают хороший результат в случае, когда $tin$. Если внутри отрезка $$, на котором требуется уплотнить таблицу, находится узловая точка $x_i$, то на каждом из отрезков $$ и $[_i; b]$ вычисления выполняются отдельно. Все задания выполнить в Excel

Задача 4. Решить систему методами Ньютона, Брауна, итераций.

Задача 5. Решить систему Ax=b методом Гаусса (схема частичного выбора). Вычислить определитель и обратную матрицу для данной матрицы на основе метода Гаусса.

Задача 6. Функция y=y(x) задана таблицей своих значений. Построить многочлены нулевой и первой степени, приближающие функцию по методу наименьших квадратов. Вычислить величину среднеквадратичного отклонения. Построить на одном чертеже точечный график функции и графики многочленов.

Задача 7. Вычислить интеграл от заданной функции f(x) на отрезке по формулам трапеций и Симпсона при делении отрезка на 12 равных частей. Повторить вычисления при делении отрезка на 6 равных частей. Записать ответ каждого метода, сохранив только верные цифры.

» В отличие от метода хорд, в методе касательных вместо хорды на каждом шаге проводится касательная к кривой y=F(x) при x=x n и ищется точка пересечения касательной с осью абсцисс:

Формула для (n+1) приближения имеет вид:

Если F(a)*F»(a)>0 , x =a , в противном случае x =b .

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будет обнаружено, что:

Пусть дана задача следующего характера: Уточнить корни уравнения cos(2x)+x-5=0 методом касательных с точностью до 0,00001.

Изначально необходимо определиться с тем, чему равно x0: либо a, либо b. Для этого необходимо выполнить следующие действия:

Найти производную первого порядка от функции f(x)=cos(2x)+x-5. Она будет выглядеть следующим образом: f1(x)=-2sin(2x)+1.

Найти производную второго порядка от функции f(x)=cos(2x)+x-5. Она будет выглядеть следующим образом: f2(x)=-4cos(2x).

В итоге получается следующее:

Так как x0=b, то необходимо выполнить следующие действия:

Заполнить ячейки следующим образом (обратить внимание на названия и номера столбцов при заполнении — они должны быть такими же, как на рисунке):

В ячейку A6 ввести формулу =D5.

Выделить диапазон ячеек B5:E5 и методом протягивания заполнить диапазон ячеек B6:E6.

Выделить диапазон ячеек A6:E5 и методом протягивания заполнить диапазон нижерасположенных ячеек до получения в одной из ячеек столбца E результата (диапазон ячеек A6:E9).

В итоге получаем следующее:

4. Комбинированный метод хорд и касательных

Для того чтобы достичь наиболее точной погрешности, нужно одновременно использовать методы хорд и касательных. «По формуле хорд находят x n+1 , а по формуле касательных — z n+1 . Процесс нахождения приближенного корня прекращается, как только:

В качестве приближенного корня берут значение, равное (11) :»[2 ]

Пусть требуется уточнить корни уравнения cos(2x)+x-5=0 комбинированным методом с точностью до 0,00001.

Для решения такой задачи, используя Excel, необходимо выполнить следующие действия:

Так как в комбинированном методе необходимо использовать одну из формул хорд и формулу касательных, то для упрощения следует ввести следующие обозначения:

Для формул хорд обозначить:

Переменная c будет играть роль a или b в зависимости от ситуации.

Остальные обозначения аналогичны приведенным в формулах хорд, только учитывая выше введенные переменные.

Для формулы касательных обозначить:

Остальные обозначения аналогичны приведенным в формуле касательных, только учитывая выше введенные переменные.

Найти производную первого порядка от функции f(x)=cos(2x)+x-5. Она будет выглядеть следующим образом: f1(x)=-2sin(2x)+1.

Найти производную второго порядка от функции f(x)=cos(2x)+x-5. Она будет выглядеть следующим образом: f2(x)=-4cos(2x).

Заполнить ячейки следующим образом (обратить внимание на названия и номера столбцов при заполнении — они должны быть такими же, как на рисунке):

В итоге получается следующее:

В ячейку G1 ввести e, а в G2 ввести число 0,00001.

В ячейку H1 ввести c, а в H2 ввести число 6, так как c=b (см. ячейку F2).

В ячейку I1 ввести f(c), а в I2 ввести формулу =COS(2*H2)+H2-5.

Заполнить ячейки последовательно следующим образом (обратить внимание на названия и номера столбцов при заполнении — они должны быть такими же, как на рисунке):

В ячейку A6 ввести формулу =E5.

В ячейку F6 ввести формулу =I5.

Выделить диапазон ячеек B5:E5 и маркером автозаполнения заполнить диапазон ячеек B6:E6.

Выделить диапазон ячеек G5:K5 и маркером автозаполнения заполнить диапазон ячеек G6:K6.

Выделить диапазон ячеек A6:K6 и методом протягивания заполнить все нижестоящие ячейки до получения ответа в одной из ячеек столбца K (диапазон ячеек A6:K9).

В итоге получаем следующее:

Ответ: Корень уравнения cos(2x)+x-5=0 равен 5,32976.

Пусть найдено приближенное значение корня уравнения f (x ) = 0, обозначим его x n . Расчетная формула метода Ньютона для определения очередного приближения x n +1 может быть получена двумя способами.

Первый способ выражает геометрический смысл метода Ньютона и состоит в том, что вместо точки пересечения графика функции y = f (x ) с осью OX , мы ищем точку пересечения с осью OX касательной, проведенной к графику функции в точке (x n , f (x n )) как показано на рис. 2.6. Уравнение касательной имеет вид .

Рис. 2.7. Метод Ньютона (касательных)

В точке пересечения касательной с осью OX переменная y = 0. Приравнивая y нулю, выразим x и получим формулу метода касательных :

Второй способ. Разложим функцию f (x ) в ряд Тейлора в окрестности точки x = x n :

Ограничимся линейными относительно (x – x n ) слагаемыми, приравняем нулю f (x ) и, выразив из полученного уравнения неизвестное x и обозначив его через x n +1 , мы получим формулу (2.6).

Приведем достаточные условия сходимости метода Ньютона.

Теорема 2.3. Пусть на отрезке выполняются условия:

1) функция и ее производные и непрерывны;

2) производные и отличны от нуля и сохраняют определенные постоянные знаки;

3) (функция меняет знак на отрезке).

Тогда существует отрезок , содержащий искомый корень уравнения , на котором итерационная последовательность схо­дит­­ся. Если в качестве нулевого приближения выбрать ту граничную точку , в которой знак функции совпадает со знаком второй производной, т.е. , то итерационная последовательность сходится монотонно (рис.2.8).

Доказательство . Так как непрерывна, меняет знак и монотонна на , то — интервал изоляции корня. Обозначим искомый корень через . Рас­смотрим функцию и найдем ее производную . Итак, непрерывна на , обращается в нуль в точке , так как в этой точке обращается в нуль функция . Следовательно, существует такой отре­зок (), что . Если возьмем ту часть отрезка, где , то , следовательно, функция возрастающая, но тогда последовательность является монотонной.

Рис. 2.8. Достаточные условия сходимости метода Ньютона

Замечание. Отметим, что метод хорд как раз идет с противоположной стороны, и оба этих метода т.о. могут друг друга дополнять, а возможен и комбинированный метод хорд-касательных .

Пример 2.7. Уточнить до 0,000001 методом Ньютона корень уравнения
sin 5x + x 2 – 1 = 0. За начальное значение принять x 0 = – 0,7.

Решение. Найдем производную .

1) Введем формулы и обозначения в ячейках диапазона A 1:D 3 и скопируем вниз маркером заполнения ячейки с формулами: B 3 — до B 5,
C 2 — до C 5, D 2 — до D 5;

ABCD
kxf(x)f»(x)
–0,7=SIN(5*B2)+B2^2–1=5*COS(5*B2)+2*B2
=B2–C2/D2

Результаты расчетов приведены в таблице 2.10. Получено значение корня – 0,726631609 ≈ – 0,726632 с погрешностью 0,000001.

ABCDA
kxf(x)f»(x)
-0,7-0,159216772-6,082283436
-0,726177138-0,002664771-5,8656810440,026177138
-0,726631437-1,00787E-06-5,8612402280,000454299
-0,726631609-1,45328E-13-5,8612385431,71955E-07

Создадим функции в программе Excel для решения уравнения из примера 2.7 методом Ньютона.

3 способа расчета полинома в Excel.

полиномЕсть 3 способа расчета значений полинома в Excel:

  • 1-й способ с помощью графика;
  • 2-й способ с помощью функции Excel =ЛИНЕЙН();
  • 3-й способ с помощью Forecast4AC PRO;

Подробнее о полиноме и способе его расчета в Excel далее в нашей статье.

Полиномиальный тренд применяется для описания значений временных рядов, попеременно возрастающих и убывающих. Полином отлично подходит для анализа большого набора данных нестабильной величины (например, продажи сезонных товаров).

Что такое полином? Полином — это степенная функция y=ax 2 +bx+c (полином второй степени) и y=ax 3 +bx 2 +cx+d (полином третей степени) и т.д. Степень полинома определяет количество экстремумов (пиков), т.е. максимальных и минимальных значений на анализируемом промежутке времени.

У полинома второй степени y=ax 2 +bx+c один экстремум (на графике ниже 1 максимум).

один экстремум

У Полинома третьей степени y=ax 3 +bx 2 +cx+d может быть один или два экстремума.

Один экстремум

один экстремум полинома

Два экстремума

2 экстремума полинома третьей степени

У Полинома четвертой степени не более трех экстремумов и т.д.

Как рассчитать значения полинома в Excel?

Есть 3 способа расчета значений полинома в Excel:

  • 1-й способ с помощью графика;
  • 2-й способ с помощью функции Excel =ЛИНЕЙН;
  • 3-й способ с помощью Forecast4AC PRO;

1-й способ расчета полинома — с помощью графика

Выделяем ряд со значениями и строим график временного ряда.

график полинома

На график добавляем полином 6-й степени.

добавляем линию тренда в Excel

polinom 6 stepeni

Затем в формате линии тренда ставим галочку «показать уравнение на диаграмме»

polinom na grafik

После этого уравнение выводится на график y = 3,7066x 6 — 234,94x 5 + 4973,6x 4 — 35930x 3 — 7576,8x 2 + 645515x + 5E+06 . Для того чтобы последний коэффициент сделать читаемым, мы зажимаем левую кнопку мыши и выделяем уравнение полинома

выделяем уравнение тренда

Нажимаем правой кнопкой и выбираем «формат подписи линии тренда»

формат подписи полинома

В настройках подписи линии тренда выбираем число и в числовых форматах выбираем «Числовой».

формат подписи полинома

Получаем уравнение полинома в читаемом формате:

y = 3,71x 6 — 234,94x 5 + 4 973,59x 4 — 35 929,91x 3 — 7 576,79x 2 + 645 514,77x + 4 693 169,35

уравнение полинома

Из этого уравнения берем коэффициенты a, b, c, d, g, m, v, и вводим в соответствующие ячейки Excel

коэффициенты полинома

Каждому периоду во временном ряду присваиваем порядковый номер, который будем подставлять в уравнение вместо X.

номер временного ряда для полинома

Рассчитаем значения полинома для каждого периода. Для этого вводим формулу полинома y = 3,71x 6 — 234,94x 5 + 4 973,59x 4 — 35 929,91x 3 — 7 576,79x 2 + 645 514,77x + 4 693 169,35 в первую ячейку и фиксируем ссылки на коэффициенты тренда (см. статью как зафиксировать ссылки)

вводим формулу полинома в ячейку

Получаем формулу следующего вида:

= R2C8 *RC[-3]^6+ R3C8 *RC[-3]^5+ R4C8 *RC[-3]^4+ R5C8 *RC[-3]^3+ R6C8 *RC[-3]^2+ R7C8 *RC[-3]+ R8C8

в которой коэффициенты тренда зафиксированы и вместо «x» мы подставляем ссылку на номер текущего временного ряда (для первого значение 1, для второго 2 и т.д.)

Также «X» возводим в соответствующую степень (значок в Excel «^» означает возведение в степень)

=R2C8*RC[-3] ^6 +R3C8*RC[-3] ^5 +R4C8*RC[-3] ^4 +R5C8*RC[-3] ^3 +R6C8*RC[-3] ^2 +R7C8*RC[-3]+R8C8

Теперь протягиваем формулу до конца временного ряда и получаем рассчитанные значения полиномиального тренда для каждого периода.

2-й способ расчета полинома в Excel — функция ЛИНЕЙН()

Рассчитаем коэффициенты линейного тренда с помощью стандартной функции Excel =ЛИНЕЙН()

Для расчета коэффициентов в формулу =ЛИНЕЙН(известные значения y, известные значения x, константа, статистика) вводим:

  • «известные значения y» (объёмы продаж за периоды),
  • «известные значения x» (порядковый номер временного ряда),
  • в константу ставим «1»,
  • в статистику «0»

Получаем следующего вида формулу:

Линейн формула Excel

Теперь, чтобы формула Линейн() рассчитала коэффициенты полинома, нам в неё надо дописать степень полинома, коэффициенты которого мы хотим рассчитать.

Для этого в часть формулы с «известными значениями x» вписываем степень полинома:

  • ^ <1:2:3:4:5:6>— для расчета коэффициентов полинома 6-й степени
  • ^ <1:2:3:4:5>— для расчета коэффициентов полинома 5-й степени
  • ^ <1_2>— для расчета коэффициентов полинома 2-й степени

вводим степень полинома

Получаем формулу следующего вида:

Вводим формулу в ячейку, получаем 3,71 —- значение (a) для полинома 6-й степени y=ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+gx^2+mx+v

Для того, чтобы Excel рассчитал все 7 коэффициентов полинома 6-й степени y=ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+gx^2+mx+v, необходимо:

1. Установить курсор в ячейку с формулой и выделить 7 соседних ячеек справа, как на рисунке:

ustanovit kursor

2. Нажать на клавишу F2

uravnenie polinoma 6stepeni 2sposob

3. Затем одновременно — клавиши CTRL + SHIFT + ВВОД (т.е. ввести формулу массива, как это сделать читайте подробно в статье «Как ввести формулу массива»)

uravnenie polinoma 6stepeni 2sposob

Получаем 7 коэффициентов полиномиального тренда 6-й степени.

Рассчитаем значения полиномиального тренда с помощью полученных коэффициентов. Подставляем в уравнение y=3,7* x ^ 6 -234,9* x ^ 5 +4973,5* x ^ 4 -35929,9 * x^3 -7576,7 * x^2 +645514,7* x +4693169,3 номера периодов X, для которых хотим рассчитать значения полинома.

Каждому периоду во временном ряду присваиваем порядковый номер, который будем подставлять в уравнение полинома вместо X.

номер временного ряда для полинома

Рассчитаем значения полиномиального тренда для каждого периода. Для этого вводим формулу полинома в первую ячейку и фиксируем ссылки на коэффициенты тренда (см. статью как зафиксировать ссылки)

вводим формулу полинома в ячейку

Получаем формулу следующего вида:

= R2C8 *RC[-3]^6+ R3C8 *RC[-3]^5+ R4C8 *RC[-3]^4+ R5C8 *RC[-3]^3+ R6C8 *RC[-3]^2+ R7C8 *RC[-3]+ R8C8

в которой коэффициенты тренда зафиксированы и вместо «x» мы подставляем ссылку на номер текущего временного ряда (для первого значение 1, для второго 2 и т.д.)

Также «X» возводим в соответствующую степень (значок в Excel «^» означает возведение в степень)

=R2C8*RC[-3] ^6 +R3C8*RC[-3] ^5 +R4C8*RC[-3] ^4 +R5C8*RC[-3] ^3 +R6C8*RC[-3] ^2 +R7C8*RC[-3]+R8C8

Теперь протягиваем формулу до конца временного ряда и получаем рассчитанные значения полиномиального тренда для каждого периода.

2-й способ точнее, чем первый, т.к. коэффициенты тренда мы получаем без округления, а также этот расчет быстрее.

3-й способ расчета значений полиномиальных трендов — Forecast4AC PRO

Устанавливаем курсор в начало временного ряда

уравнение полинома

Заходим в настройки Forecast4AC PRO, выбираем «Прогноз с ростом и сезонностью», «Полином 6-й степени», нажимаем кнопку «Рассчитать».

функция полинома

Заходим в лист с пошаговым расчетом «ForPol6», находим строку «Сложившийся тренд»:

копируем полином

Копируем значения в наш лист.

Получаем значения полинома 6-й степени, рассчитанные 3 способами с помощью:

  1. Коэффициентов полиномиального тренда выведенных на график;
  2. Коэффициентов полинома рассчитанных с помощью функцию Excel =ЛИНЕЙН
  3. и с помощью Forecast4AC PRO одним нажатием клавиши, легко и быстро.

Присоединяйтесь к нам!

Скачивайте бесплатные приложения для прогнозирования и бизнес-анализа:

Novo Forecast - прогноз в Excel - точно, легко и быстро!

  • Novo Forecast Lite — автоматический расчет прогноза в Excel .
  • 4analytics — ABC-XYZ-анализ и анализ выбросов в Excel.
  • Qlik Sense Desktop и QlikView Personal Edition — BI-системы для анализа и визуализации данных.

Тестируйте возможности платных решений:

  • Novo Forecast PRO — прогнозирование в Excel для больших массивов данных.

Получите 10 рекомендаций по повышению точности прогнозов до 90% и выше.

голоса
Рейтинг статьи
Читайте так же:
Можно ли ехать по левой полосе
Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector