Darbe.ru

Быт техника Дарби
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Метод половинного деления

Метод половинного деления

Пусть корень уравнения (1) отделен на отрезке [a;b]. Требуется найти значение корня с точностью ε.

"Процедура уточнения положения корня заключается в построении последовательности вложенных друг в друга отрезков, каждый из которых содержит корень уравнения. Для этого находится середина текущего интервала неопределенности (6):

В в качестве следующего интервала неопределенности из двух возможных выбирается тот, на концах которых функция F(x)=0имеет разные знаки"[8]. "Точность будет достигнута, если:

Корень уравнения вычисляется по формуле x=(an+bn)/2 (7)"[1].

Пусть дана задача следующего характера: Уточнить корни уравнения cos(2x)+x-5=0 методом половинного деления с точностью до 0,00001, используя:

1. Mathcad;

Excel.

Для того чтобы уточнить корни уравнения cos(2x)+x-5=0 методом половинного деления, используя Excel, необходимо выполнить следующие действия:

1. Заполнить ячейки A1:H1 последовательно следующим образом: a, b, c=(a+b)/2, f(a), f(b), f(c), |b-a|<=2*e, e.

2. Ввести в ячейку A2 число 5, в ячейку B2 — число 6.

3. В ячейку B2 ввести формулу: =(A2+B2)/2.

4. В ячейку D2 ввести формулу: =cos(2*A2)+A2-5, скопировать эту формулу в ячейки E2:F2.

5. Ввести в ячейку G2 формулу: =ЕСЛИ(ABS(B2-A2)<=2*$H$2;C2;"-").

6. Ввести в ячейку H2 число 0,00001.

7. В ячейку A3 ввести формулу: =ЕСЛИ(D2*F2<0;A2;C2).

8. В ячейку B3 ввести формулу: =ЕСЛИ(D2*F2<0;C2;B2).

9. Диапазон ячеек C2:G2 скопировать в диапазон ячеек C3:G3.

10. Выделить диапазон ячеек A3:G3 и с помощью маркера заполнения заполнить все нижестоящие ячейки до получения результата в одной из ячеек столбца G (это ячейки A3:G53).

В итоге получаем следующее:

Ответ: Корень уравнения cos(2x)+x-5=0 равен 5,32977.

  1. Метод хорд

Берілген әдісті шешу үшін y=F(x) функциясын құру керек

" Для реализации данного метода, нужно построить исходную функциюy=F(x)и найти значения функции на концах отрезка F(a) и F(b). Затем провести хорду М1M2c концами в точкахМ1(a, F(a)) и M2(b, F(b)). Абсцисса точки пересечения хорды М1M2с осью OX это и есть приближенный кореньx1. Далее найти точкуM3(X1 ,F(x1 )), построить следующую хорду и найти второй приближенный корень x2. И так далее. В зависимости от поведения функции возможны два случая:

Рис. 1Рис. 2

Для первого случая (Рис. 1) справедлива следующая формула (8):

и справедливо неравенство: F(a)*F»(a)>0, где x=b.

Для второго случая (Рис. 2) справедлива следующая формула (9):

и справедливо неравенство: F(b)*F»(b)>0, где x=a.

Условия сходимости метода секущих аналогичны условиям сходимости метода Ньютона, т. е."[1]

Пусть дана задача: Уточнить корни уравнения cos(2x)+x-5=0 методом хорд с точностью до 0,00001, используя:

1. Mathcad;

Excel.

Для того чтобы уточнить корни уравнения cos(2x)+x-5=0 методом хорд, используя Excel, необходимо выполнить следующие действия:

1. Выбрать одну из двух предложенных формул для решения задачи, для этого:

o Найти производную первого порядка от функции f(x)=cos(2x)+x-5. Она будет выглядеть следующим образом: f1(x)=-2sin(2x)+1.

o Найти производную второго порядка от функции f(x)=cos(2x)+x-5. Она будет выглядеть следующим образом: f2(x)=-4cos(2x).

o Заполнить ячейки следующим образом:

— В ячейку A1 ввести a.

— В ячейку A2 ввести цифру 5.

— В ячейку B1 ввести b.

— В ячейку B2 ввести цифру 6.

— В ячейку C1 ввести f(x)=cos(2x)+x-5.

— В ячейку C2 ввести формулу =COS(2*A2)+A2-5.

— В ячейку D1 ввести f1(x)=-2sin(2x)+1.

— В ячейку E1 ввести f2(x)=-4cos(2x).

— В ячейку E2 ввести формулу =-4*COS(2*A2).

— В ячейку F1 ввести Выбор формулы.

— В ячейку F2 ввести формулу =ЕСЛИ(C2*E2>0;"Воспользоваться формулой 8";"Воспользоваться формулой 9").

— В ячейку G1 ввести e.

— В ячейку G2 ввести цифру 0,00001.

o В итоге получается следующее:

2. Исходя из того, что выбрана формула 9, в Excel необходимо выполнить следующие действия:

o В ячейку A4 ввести xn.

o В ячейку B4 ввести f(xn).

o В ячейку C4 ввести b-xn.

o В ячейку D4 ввести f(xn)*(b-xn).

o В ячейку E4 ввести f(b).

o В ячейку F4 ввести f(b)-f(xn).

o В ячейку G4 ввести xn-f(xn)*(b-xn)/f(b)-f(xn).

o В ячейку H4 ввести |f(xn)|<=e.

o В ячейку A5 ввести цифру 5.

o В ячейку B5 ввести формулу =COS(2*A5)+A5-5.

o В ячейку C5 ввести формулу =$B$2-A5.

o В ячейку D5 ввести формулу =B5*C5.

o В ячейку E5 ввести формулу =COS(2*$B$2)+$B$2-5.

o В ячейку F5 ввести формулу =$E$5-B5.

o В ячейку G5 ввести формулу =A5-(B5*C5/F5).

o В ячейку H5 ввести формулу =ЕСЛИ(ABS(B5)<=$G$2;A5;"-").

o В ячейку A6 ввести формулу =G5.

o Выделить диапазон ячеек B5:D5 и скопировать его методом протягивания в диапазон ячеек B6:D6.

o Выделить диапазон ячеек F5:H5 и скопировать его методом протягивания в диапазон ячеек F6:H6.

Читайте так же:
Можно ли восстановить несохраненный документ в ворде

o Выделить диапазон ячеек A6:H6 и скопировать его методом протягивания в диапазон ячеек ниже до получения результата в одной из ячеек столбца H (A6:H9).

В итоге получаем следующее:

Ответ: Корень уравнения cos(2x)+x-5=0 равен 5,32976.

studopedia.org — Студопедия.Орг — 2014-2021 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.004 с) .

Метод половинного деления в excel

Постановка задачи

Дано нелинейное алгебраическое уравнение

f(x)=0 (1)

Нелинейность уравнения означает, что график функции не есть прямая линия, т.е. в f(x) входит x в некоторой степени или под знаком функции.

Решить уравнение – это найти такое x* ∈ R: f(x*)=0. Значение x* называют корнем уравнения. Нелинейное уравнение может иметь несколько корней. Геометрическая интерпретация корней уравнения представлена на рис. 1. Корнями уравнения (1) являются точки x1*, x2*, x3*, в которых функция f(x) пересекает ось x.

Методы решения нелинейного уравнения (1) можно разделить на точные (аналитические) и приближенные (итерационные). В точных методах корень представляется некоторой алгебраической формулой. Например, решение квадратных уравнений, некоторых тригонометрических уравнений и т. д.

В приближенных методах процесс нахождения решения, вообще говоря, бесконечен. Решение получается в виде бесконечной последовательности <xn>, такой, что . По определению предела, для любого (сколь угодно малого) ε, найдется такое N, что при n>N, |xn x*|< ε. Члены этой последовательности xn называются последовательными приближениями к решению, или итерациями. Наперёд заданное число ε называют точностью метода, а N это количество итераций, которое необходимо выполнить, чтобы получить решение с точностью ε.

Существует различные методы нахождения приближенного решения, т.е. способы построения последовательности итераций <xn>, однако все они имеют общие этапы, изображенные на рисунке.

Наиболее часто используется следующий критерий остановки итерационного процесса: |xn+1xn|<ε, т.е. разница между соседними итерациями становится малой. Также для окончания итерационного процесса используется условие |f(xn)|<ε , где f(xn) – невязка метода.

Прежде чем использовать приближенный метод, уравнение надо исследовать его на наличие корней и уточнить, где эти корни находятся, т.е. найти интервалы изоляции корней. Интервалом изоляции корня называется отрезок, на котором корень уравнения существует и единственен.

Необходимое условие существования корня уравнения на отрезке [a,b]: Пусть f(x) непрерывна и f(a)f(b)<0 (т.е., на концах интервала функция имеет разные знаки). Тогда внутри отрезка [a, b] существует хотя бы один корень уравнения f(x)=0.

Достаточное условие единственности корня на отрезке [a,b]:

Корень будет единственным, если f(a)f(b)<0 и f / (x) не меняет знак на отрезке [a, b], т.е. f(x) – монотонная функция, в этом случае отрезок [a,b] будет интервалом изоляции.

Если корней несколько, то для каждого нужно найти интервал изоляции.

Существуют различные способы исследования функции: аналитический, табличный, графический.

Аналитический способ состоит в нахождении экстремумов функции f(x), исследование ее поведения при и нахождение участков возрастания и убывания функции.

Графический способ – это построение графика функции f(x) и определение числа корней по количеству пересечений графика с осью x.

Табличный способ это построение таблицы, состоящей из столбца аргумента x и столбца значений функции f(x). О наличии корней свидетельствуют перемены знака функции. Чтобы не произошла потеря корней, шаг изменения аргумента должен быть достаточно мелким, а интервал изменения достаточно широким.

Решить уравнение x 3 ‑ 6x 2 +3x+11=0, т.е. f(x)= x 3 ‑ 6x 2 +3x+11.

Найдем производную f / (x)=3x 2 -12x+3.

Найдем нули производной f / (x)=3x 2 -12x+3=0; D=144-4*3*3=108;

Так как f / ( )>0, то f / (x)>0 при , f / (x)<0 при и f / (x)>0 при . Кроме того, f( )= <0, f( )= >0. Следовательно, на интервале возрастает от до f(x1)= 3x1 2 -12x1+3=11.39; на интервале — убывает до f(x2)= 3x2 2 -12x2+3=-9.39 и на интервале возрастает до , т.е. уравнение имеет три корня.

Найдем интервалы изоляции для каждого из корней.

Рассмотрим для первого корня отрезок [-2, -1]:

f(-2)= -27<0, f(-1)= 1>0, f / (x)>0 при т.е. этот отрезок является интервалом изоляции корня.

Рассмотрим для второго корня отрезок [1, 3]:

f(1)= 9>0, f(3)= -7<0, f / (x)<0 при т.е. этот отрезок является интервалом изоляции корня.

Рассмотрим для третьего корня отрезок [4, 5]:

f(4)= -9<0, f(5)=1>0, f / (x)>0 при т.е. этот отрезок является интервалом изоляции корня.

Трансцендентные уравнения? «Подбор параметра» в Excel!

График функции с реализацией метода Ньютона на фоне его портретаНелинейные, трансцендентные уравнения функции одной переменной – это уравнения вида f (x) = 0, в которых нельзя найти алгебраическими методами корни. Функция f (x) – это, как правило, достаточно сложная и громоздкая функция, содержащая в своем составе.

. тригонометрические, логарифмические, степенные и иные нелинейные функции с различной глубиной вложенности. Например: f (x) = sin (3,14^x) + cos (x) = 0. Уравнения такого вида решаются численными методами.

Читайте так же:
Дата плюс количество дней excel

В этой статье я постараюсь доступно и кратко рассказать и показать на примерах, как и когда такие задачи возникают и как их сегодня быстро и просто можно решать в Excel.

Чуть-чуть истории и теории.

Вы задумывались когда-нибудь — откуда и зачем в головах людей, живших в XVI…XVII веках, родились понятия дифференциалов, производных, интегралов? Объяснение, в общем-то, достаточно простое и понятное – эти ученые искали аналитические пути решения прикладных практических задач. И успешно находили.

Мне сегодня видится приблизительно такая «лестница» с качественными «ступенями инструментов» математики для решения практических и научных задач, которую изобрело человечество:

1. Арифметика — сложение, вычитание, умножение, деление.

2. Алгебра – применение элементарных функций (степенной, логарифмической, тригонометрической, …) и алгебраических уравнений функции одной переменной.

3. Гауссовские системы линейных уравнений.

4. Численные методы решения трансцендентных уравнений.

5. Численные методы решения систем трансцендентных уравнений функций нескольких переменных.

6. Дифференцирование и интегрирование функций одной переменной.

7. Дифференцирование и интегрирование функций нескольких переменных.

8. Системы дифференциальных и интегральных уравнений.

9. Масса разнообразных новых и старых специальных методик и подходов мне не известных и известных, но, безусловно, существующих и работающих.

Предлагаю остановиться и разобраться с достаточно высокой четвертой ступенью «лестницы».

Для численного решения нелинейных уравнений успешно применяются: метод половинного деления, метод простых итераций, метод хорд, метод касательных Ньютона, комбинированный метод секущих-хорд на основе итерационной формулы Ньютона. Для чего ученые-математики придумали множество различных методов решения трансцендентных уравнений? Они старались упростить и ускорить процесс расчетов. Надо помнить и понимать, что у них компьютеров не было, и расчеты выполнялись вручную.

Каждый из методов имеет свои достоинства и недостатки — они подробно описаны в литературе, и углубляться в них мы не будем. Скажу только, что из вышеперечисленных методов мне на практике довелось использовать все. При решении различных (в основном геометрических и теплотехнических) задач по разным причинам было удобно использовать то один, то другой подход. Метод Ньютона хорош своей быстрой сходимостью и простотой формулы. Комбинированный метод секущих-хорд на основе итерационной формулы Ньютона не требует нахождения производных, быстро «сходится», и главное – не требует анализа функции на сходимость. Метод половинного деления медленно сходится, но не требует никакого предварительного анализа функции.

Трансцендентные уравнения. Два метода решения в Excel.

Если у вас на компьютере нет программы MS Excel, то расчеты можно выполнить в программе OOo Calc из бесплатного пакета Open Office.

Задач, которые требуют для получения ответа составления и решения трансцендентных уравнений, вокруг нас очень много. Это — задачи и физики, и теплотехники, и астрономии, и элементарной геометрии в обычной жизни… Инженерам-конструкторам и программистам в повседневной работе необходимо уметь составлять и быстро решать численными методами нелинейные уравнения. На мой взгляд — это один из критериев профессионализма. Более того, уравнения, которые решаются аналитически, сегодня иногда гораздо проще и быстрее при наличии вычислительной техники решить численными методами, поэтому нужно уметь это делать.

Вычисление угла зацепления зубчатой передачи методом Ньютона (методом касательных)

Рассмотрим пример из статьи «Расчет геометрии зубчатой передачи». Необходимо найти угол зацепления зубчатой передачи atw . Я обещал в той статье рассказать, как это делается. Выполняю обещание.

Если расстояние между центрами колеса и шестерни не задано, то угол зацепления можно вычислить путем решения трансцендентного уравнения:

inv ( atw )=tg ( atw ) — atw =2* xs *tg ( a )/( z2 + T * z1 )+ tg ( at ) — at

Подставив данные из примера, рассмотренного в вышеупомянутой статье, получим после преобразований следующее уравнение:

inv ( atw )=0,020910

f ( atw )=tg ( atw )— atw -0,020910=0

Используем метод Ньютона, потому что взять производную представленной выше функции элементарно просто, а итерационная формула очень проста и компактна:

f’( atw )=1/(cos ( atw ))^2—1

atw (i+1) = atw i — f ( atw ) i/ f’( atw ) i

Открываем файл Excel и начинаем работу.

Исходные данные будем традиционно писать в ячейки со светло-бирюзовой заливкой. Результаты расчетов будем считывать в ячейках со светло-желтой заливкой.

1. Инволюту угла зацепления inv( atw ) заносим

в ячейку D3: 0,020910

2. Значение угла зацепления в нулевом приближении atw в радианах записываем

Таблица в Excel решения уравнения методом Ньютона

3. Итерационную формулу atw (i+1)= atw i f( atw )i/ f’( atw )i заносим

в D5: =D4- (TAN (D4) -D4-$D$3)/(1/(COS (D4))^2-1) =0,591706

atw 1= atw 0- (tg ( atw 0) — atw 0- inv ( atw ))/(1/(cos ( atw 0))^2-1)

и копируем в ячейки D6… D14

Читайте так же:
Можно ли восстановить инстаграм после удаления аккаунта

4. Видим, что уже после шестой итерации угол зацепления atw в радианах вычислен с нулевой абсолютной и относительной ошибкой:

atw =D13- (TAN (D13) -D13-$D$3)/(1/(COS (D13))^2-1) =0,389140

Решение найдено, расчет в Excel завершен!

Решение задачи ландшафтного дизайна с помощью сервиса «Подбор параметра» в Excel

Задача:

Вдоль отмостки стены дома длиной 14 метров необходимо разбить цветник в виде сегмента круга площадью ровно 16 квадратных метров. На сколько метров цветник будет отстоять от края отмостки по центру стены? Каким радиусом необходимо выполнить границу цветника?

Расчетная схема сегмента круга

1. Длину отмостки стены дома — хорды сегмента круга x в метрах записываем

в ячейку D17: 14,000

2. Площадь цветника – сегмента круга S в квадратных метрах вписываем

в D18: 16,000

Таблица в Excel решения уравнения методом подбора параметра

3. Предположительное произвольное (не нулевое) значение центрального угла сегмента a в радианах пишем

в D19: 1,000

Трансцендентное уравнение a / sin( a /2 ) -2*cos ( a /2) — (8* S / x ^2) *sin( a /2)=0 вводим

в объединенную ячейку E19F19: =D19/SIN (D19/2) -2*COS (D19/2) — (8*D18/D17^2)*SIN (D19/2)

Всплывающее окно Excel "Подбор параметра"

Включаем сервис «Подбор параметра» в Excel: «Сервис» – «Подбор параметра». Пишем в появившемся окне все как на рисунке слева и нажимаем кнопку OK.

Всплывающее окно Excel "Результат подбора параметра"

В появившемся новом окне видим, что решение найдено, снова нажимаем на кнопку OK.

Считываем искомое значение центрального угла сегмента a в радианах

в D19: 0,950057

При этом видим, что значение трансцендентного уравнения равно нулю; считываем

в объединенной ячейке E19F19: =D19/SIN (D19/2) -2*COS (D19/2) — (8*D18/D17^2)*SIN (D19/2) =0

4. Радиус наружной границы цветника – радиус сегмента круга r в метрах рассчитывается

в D20: =D17/2/SIN (D19/2) =15,305

r = x /2/sin( a /2)

5. Максимальная ширина цветника – высота сегмента круга h в метрах рассчитывается

в ячейке D21: =D20*(1-COS (D19/2)) =1.695

h = r *(1- cos( a /2))

Ответы получены, вторая задача успешно решена!

Я не приводил вывода использованных формул потому, что это не по теме поста, и, думаю, с геометрией и тригонометрией вы легко разберетесь. Будут вопросы – обращайтесь.

Чтобы получать информацию о выходе новых статей вам нужно подписаться на анонсы в окне, расположенном вверху страницы. Введите адрес своей электронной почты и нажмите на кнопку «Получать анонсы статей». С этого момента к вам на почтовый ящик будет приходить небольшое уведомление о появлении на моем блоге новой статьи.

Краткие выводы

1. Итерационными численными методами удобно и быстро можно решать трансцендентные уравнения и громоздкие нелинейные алгебраические.

2. При написании расчетных модулей программ в Excel, если нежелательны лишние остановки по ходу вычислений, можно использовать вставки блоков с классическими методами решения нелинейных уравнений или макросов с вызовом инструмента «Подбор параметра».

3. Использование инструмента «Подбор параметра» в Excel является сегодня, безусловно, наиболее оптимальным и эффективным методом решения нелинейных, трансцендентных уравнений функций одной переменной, а также проведения анализа типа «Что будет? Если…».

Умение применять в работе сервис «Подбор параметра» существенно повышает ваш уровень, как специалиста вообще, так и как пользователя Excel – в частности.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ — Тема: Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом половинного деления и методом итераций.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ - Тема: Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом половинного деления и методом итераций.

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом половинного деления и методом итераций.

Цель работы:

— применить умения отделять корни алгебраических уравнений;

— применить умения решать алгебраические уравнений приближенными методами (метод половинного деления, метод хорд, метод касательных);

Оборудование:

1. Рабочая тетрадь в клетку.

2. Раздаточный материал: инструкционные карты-20шт.

3. Калькулятор простой.

1. Методом половинного деления с точностью 0,01 найдите приближенное значение наибольшего действительного корня следующего алгебраического уравнения

1. Методом итераций решить уравнение с точностью до 0,001

1. Методом половинного деления с точностью 0,01 найдите приближенное значение наибольшего действительного корня следующего алгебраического уравнения

2. Методом итераций решить с точностью до 0,001 уравнение.

Порядок выполнения:

1. Внимательно прочитать тему и цель практической работы .

2. Изучить учебный материал по теме.

3. Ответить на вопросы.

4. Выполнить задания.

5. Подготовить отчет.

Пояснения к работе (учебный материал):

Число из области определения функции называется корнем уравнения , если .

Процесс нахождения корней уравнения распадается на несколько этапов:

1) определяются границы интервала, в котором находятся все корни уравнения ;

2) устанавливаются возможно малые промежутки, в каждом из которых содержатся ровно один корень.

3) каждый из корней вычисляется с заданной точностью.

К сожалению, определение в общем виде границ интервала, в котором находятся все корни уравнения , можно дать только для алгебраического уравнения в каноническом виде, т.е. для уравнения вида:

Читайте так же:
Как в ворде группировать рисунки и надписи

(1)

В дальнейшем будем находить действительные корни алгебраических уравнений.

Теорема 1 (основная теорема алгебры).

Уравнения вида (1) имеет ровно n корней, действительных или комплексных, если корень кратности k считать за k корней.

Число называется корнем кратности k уравнения (1), если при обращается в нуль сама функция и ее производные до ( k -1 )-го порядка включительно, т.е.

Корень кратности называется простым.

1) Число действительных корней уравнения (1) четной степени с действительными коэффициентами всегда четно (в том числе и может равняться нулю).

Если кроме этого , то уравнение четной степени имеет, по крайней мере, два действительных корня разного знака.

2) Уравнение (1) нечетной степени имеет по крайней мере один действительный корень того же знака, что и « ».

Теорема 3 (теорема Декарта).

Число положительных корней уравнения (1) равно или на четное число меньше числа перемен знака в ряду коэффициентов уравнения. Так как при замене «х» на «-у» корни уравнения (1) меняют знаки, то с помощью этой теоремы можно оценить и число отрицательных корней.

1. В уравнении нечетной степени коэффициенты и

Кроме этого, число перемен знаков равно 1.

Следовательно, по теоремам 2 и 3, оно имеет один действительный положительный корень.

2. В уравнении нечетной степени коэффициенты и Следовательно по теореме 2, оно имеет по крайней мере один действительный отрицательный корень.

Число перемен знаков в данном уравнении равно двум, следовательно, по теореме 3, оно имеет либо два, либо 0 положительных действительных корней.

Оценим число действительных отрицательных корней. Для этого заменим «х» на «». Получим уравнение, или , или . Число перемен знаков в этом уравнении равно 1, следовательно, исходное уравнение имеет один действительный отрицательный корень.

3. В уравнении четной степени коэффициенты и . Следовательно, по теореме 2, оно имеет два действительных корня разного знака.

4. В уравнении четной степени коэффициенты и . Следовательно, по теореме 2, оно имеет по крайней мере два действительных корня разного знака.

Число перемен знаков в данном уравнении равно 1, следовательно, по теореме 3, оно имеет один положительный действительный корень.

Оценим число действительных отрицательных корней. Для этого заменим «х» на «». Получим уравнение или . Число перемен знаков в этом уравнении равно 1, следовательно, исходное уравнение имеет один действительный корень.

Дадим теперь формулировку теоремы, позволяющей достаточно грубо определять границы интервала, в котором находятся все действительные корни уравнения (1).

1) Если , где 0 ; , где , и , то .

2) Все положительные действительные корни уравнения находятся в промежутке , а все отрицательные действительные корни уравнения (1) находятся в промежутке .

Если непрерывная и дифференцируемая функции , определяющая алгебраическое уравнение , на концах отрезка принимает значения разных знаков, т.е. , и ее первая производная сохраняет знак внутри этого отрезка, но на находится ровно один действительный корень данного уравнения.

Замечание. Для алгебраических уравнений (1), степень которых больше трех, трудно аналитически находить интервалы знакопостоянства функции . Поэтому для нахождения возможно малых промежутков, содержащих ровно один действительный корень можно на практике использовать следующие способы:

1) средствами машинной графики функция />представляется на дисплее и приближенно определяются возможно малые промежутки, содержащие ровно один корень (т.е. промежутки содержащие одну точку пересечения графика функции />с осью Ох);

2) если график функции построить трудно, то формируют простые функции и , такие, что уравнение преобразуется в виде = . Затем строятся графики функций у= и y = и приближенно определяются промежутки, содержащие абсциссы точек пересечения этих графиков.

Так, например, уравнение можно преобразовать к виду и затем построить графики функции и .

Начиная третий этап, дадим формулировку теоремы, позволяющей оценивать погрешность приближенного решения.

Если точный, а — приближенный, корни уравнения (1), принадлежащие одному и тому же промежутку , то справедливая оценка: , где m – наименьшее значение модуля производной функции на промежутке .

Графически решить уравнение x ln ( x )=1 .

Решение. Запишем исходное уравнение в виде: , т.е. и . Таким образом, корни данного уравнения могут быть найдены как абсциссы точек пересечения кривых и .

Теперь построим графики функций и определим интервал изоляции корня.

Аналитически отделить корни данного алгебраического уравнения, используя теорему Штурма:

,

Построим таблицу для подсчета смены знаков:

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА «МЕТОД ПОЛОВИННОГО ДЕЛЕНИЯ (ДИХОТОМИИ)»

1 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА «МЕТОД ПОЛОВИННОГО ДЕЛЕНИЯ (ДИХОТОМИИ)» Морарь А.А. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Южно-Российский государственный политехнический университет (Новочеркасский политехнический институт) имени М.И. Платова Новочеркасск, Россия LABORATORY WORK «METHOD HALF DIVISION (DICHOTOMY)» Morar A. A. Federal State Budget Educational Institution of Higher Professional University «Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI)» Novocherkassk, Russia Цель работы: овладеть практическими навыками численного нахождения локального минимума функции одной переменной на заданном отрезке в среде электронных таблиц Microsoft Excel, пакета Mathcad и среде программирования Pascal-АВС. Теоретическая часть Экстремум максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум, точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум точкой максимума. Значение функции в точке максимума называется локальным максимумом, значение функции в точке минимума локальным минимумом данной функции. Максимум и минимум функции называются её локальными экстремумами.

Читайте так же:
Можно ли в армию брать таблетки

2 Термин «локальный экстремум» обусловлен тем, что введённое понятие экстремума связано с окрестностью данной точки в области определения функции, а не со всей этой областью. Функция может иметь несколько экстремумов, причём минимум в одной точке может быть больше максимума в другой. Определение. Точка x 0 называется точкой локального минимума функции f(x), если существует такая окрестность точки x 0, что для всех x из этой окрестности f(x) f(x 0 ). Суть нахождение локального минимума методом половинного деления состоит в уменьшении длины отрезка [a ; b] таким образом, что минимум остается всегда внутри отрезка. Процесс продолжается до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше заданной точности нахождения экстремума ε. Уменьшение длины отрезка производится выбором двух точек x 1 и x 2, расположенных симметрично относительно середины отрезка, т.е. точки = + Абсциссы этих точек находятся по формулам: = 2 ; = + 2 где δ величина различимости точек, при этом δ < ε. При этом возможны три случая, приводящие к сужению длины отрезка: 1) f(x 1 ) > f(x 2 ) В этом случае в промежутке [a ; x 1 ] функция монотонно убывает, значит минимума нет. Поэтому новый уменьшенный отрезок на котором расположен экстремум, это [x 1 ; b]. Для получения отрезка [a ; b] меньшей длины переносим точку a в точку x 1, полагая a:= x 1 a x 1 x 2 b

3 2) f(x 1 ) < f(x 2 ) В этом случае в промежутке [x 2 ; b] функция возрастает, значит минимума нет. Поэтому новый уменьшенный отрезок на котором расположен экстремум, это [a ; x 2 ]. Для получения отрезка [a ; b] меньшей длины переносим точку a в точку x 1, полагая b:= x 2 a x 1 x 2 b 3) f(x 1 ) = f(x 2 ) В этом случае истинный экстремум находится на интервале [x 1 ; x 2 ]. В этом случае получаем новый уменьшенный отрезок [a ; b], полагая a:= x 1, b:= x 2. a x x2 b Получив новый отрезок [a ; b] меньшей длины повторяем алгоритм заново, до тех пор пока b — a ε. В этом случае выполняя последнее деление пополам полагая =. После чего находим значение y min = f(x min ).

4 Блок-схема алгоритма метода дихотомии имеет вид: Начало a, b, eps del : = 0.01*eps b-a < eps Да = + 2 ; 1:= 2 ; 2 = + ; 2 xmin :=(a+b)/2 xmin, fmin Да Конец f(x1) f(x2) Да a := x1 ; f(x1)<f(x2) b := x2 a := x1 b:= x2 Выполнение задания Найти минимум функции = + + на интервале [-1 ; 2]. 1. Реализация в среде MS Excel 1.1 Надстройка «Поиск решения» Найдем минимум функции с помощью надстройки «Поиск решения». Для этого создадим таблицу со значениями x и f(x), и по ним построим график функции, а так же построим еще одну таблицу для определения x min и f min, в ячейку для результата минимального значения функции заносим формулу нашей функции.

5 Набираем команду Данные Поиск решения. В появившемся диалоговом окне Поиск решения необходимо выполнить необходимые установки, указанные ниже. 1.2 Метод половинного деления Решим данную задачу, используя алгоритм, указанный ранее. Формулы, в MS Excel для данного способа, представлены на следующей странице.

7 В итоге имеем следующие результаты вычислений. 2. Реализация в Pascal-ABC Паскаль-программа и результаты вычислений имеют вид:

8 Модернизируем данную программу, так чтобы она подсчитывала количество разбиений, выполняемых для достижения заданной точности. Из полученных данных заполним таблицу для трех разных значений ε. Таблица количества разбиений в зависимости от точности ε: п/п ε K Как мы видим, с увеличением заданной точности увеличивается количество разбиений, что вполне логично.

9 3. Реализация в математическом пакете MathCad Осуществим метод половинного деления в среде MathCad с применением программирования: Так же, в MathCad можно использовать более простой метод нахождения минимума функции, а именно минимизацию функции с помощью Minimize.

10 Вывод: в ходе лабораторной работы были изучены различные средства нахождения минимума функции методом половинного деления (дихотомии), который является довольно простым и легко реализуемым.

голоса
Рейтинг статьи
Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector