Приближенный метод решения интегралов. Метод прямоугольников (правых, средних, левых)

Приближенный метод решения интегралов. Метод прямоугольников (правых, средних, левых)

Многие инженерные задачи, задачи физики, геометрии и многих других областей человеческой деятельности приводят к необходимости вычислять определенный интеграл вида где f(x) -данная функция, непрерывная на отрезке [a; b]. Если функция f(x) задана формулой и мы умеем найти неопределенный интеграл F(x), то определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:
Если же неопределенный интеграл данной функции мы найти не умеем, или по какой-либо причине не хотим воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница или если функция f(x) задана графически или таблицей, то для вычисления определенного интеграла применяют приближенные формулы. Для приближенного вычисления интеграла можно использовать метод прямоугольников (правых, левых, средних). При вычислении интеграла следует помнить, каков геометрический смысл определенного интеграла. Если f(x)>=0 на отрезке [a; b], то численно равен площади фигуры, ограниченной графиком функции y=f(x), отрезком оси абсцисс, прямой x=a и прямой x=b (рис. 1.1) Таким образом, вычисление интеграла равносильно вычислению площади криволинейной трапеции.

Разделим отрезок [a; b] на n равных частей, т.е. на n элементарных отрезков. Длина каждого элементарного отрезка .

Числа y, y₁, y₂, . , y_n являются ординатами точек графика функции, соответствующих абсциссам x, x₁, x₂, . , x_n (рис. 1.2).

Строим прямоугольники. Это можно делать несколькими способами:

Левые прямоуголики (слева на право)

Правые прямоугоники (построение справа на лево)

Средние прямоугольники (посредине)

Из рис. 1.2 следует, что площадь криволинейной трапеции приближенно заменяется площадью многоугольника, составленного из n прямоугольников. Таким образом, вычисление определенного интеграла сводится к нахождению суммы n элементарных прямоугольников.

h=(b-a)/n –ширина прямоугольников

Формула левых прямоугольников:

(1.3)

Формула правых прямоугольников:

(1.4)

Формула средних прямоугольников.

(1.5)

Программа вычисления по методу левых прямоугольников.

Program levii;<Метод левых прямоугольников>
uses crt;
var i,n:integer; a,b,h,x,xb,s:real;
function f(x:real):real;
begin f:=(1/x)*sin(3.14*x/2); end;
begin
clrscr;
write(‘Введите нижний предел интегрирования ‘); readln(a);
write(‘Введите верхний предел интегрирования ‘); readln(b);
write(‘Введите количество отрезков ‘); readln(n);
h:=(b-a)/n; s:=0; xb:=a;
for i:=0 to n-1 do
begin x:=xb+i*h; s:=s+f(x)*h; end;
writeln(‘Интеграл равен ‘,s:12:10); readln;
end.

a=1 b=2 n=10 S= 18,077

a=1 b=2 n=20 S= 18, 208

a=1 b=2 n=100 S= 18, 270

Программа вычисления по методу правых прямоугольников.

Program pravii; <Метод правых прямоугольников>
uses crt;
var i,n:integer; a,b,h,x,xb,s:real;
function f(x:real):real;
begin f:=(1/x)*sin(3.14*x/2); end;
begin
clrscr;
write(‘Введите нижний предел интегрирования ‘); readln(a);
write(‘Введите верхний предел интегрирования ‘); readln(b);
write(‘Введите количество отрезков ‘); readln(n);
h:=(b-a)/n; s:=0; xb:=a;
for i:=1 to n do
begin x:=xb+i*h; s:=s+f(x)*h; end;

writeln(‘Интеграл равен ‘,s:12:10); readln;
end.

a=1 b=2 n=10 S=18,05455

a=1 b=2 n=20 S=18,55555

a=1 b=2 n=100 S= 18,2734

Программа вычисления по методу средних прямоугольников.

Program srednii; <Метод средних прямоугольников>
uses crt;
var i, n: integer; a, b, dx, x, s, xb : real;
function f(x : real):real;
begin f:=(1/x)*sin(3.14*x/2); end;
begin
clrscr;
write(‘Введите нижний предел интегрирования ‘); readln(a);
write(‘Введите верхний предел интегрирования ‘); readln(b);
write(‘Введите количество отрезков ‘); readln(n);
dx:=(b-a)/n; xb:=a+dx/2;
for i:=0 to n-1 do
begin x:=xb+i*dx; s:=s+f(x)*dx; end;

write(‘Интеграл равен ‘,s:15:10); readln;
end.

a=1 b=2 n=10 S=18,07667

a=1 b=2 n=20 S=18,368

a=1 b=2 n=100 S= 18,156

Заключение и выводы.

Таким образом очевидно, что при вычислении определенных интегралов методами прямоугольников не дает нам точного значения, а только приближенное.

Вычисление определенного интеграла методом правых прямоугольников

Задача численного интегрирования функций, квадратурные формулы вычисления однократного интеграла. Выявление погрешностей используемых значений и функций, разработка вычислительного алгоритма, расчет конкретного интеграла по формуле правых прямоугольников.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Задача численного интегрирования функций

Дополнительный член в формуле прямоугольников

Программа вычисления по методу правых прямоугольников

Задача численного интегрирования функций

Задача численного интегрирования функций заключается в вычислении приближенного значения определенного интеграла:

на основе ряда значений подынтегральной функции .< f(x) |x=xk = f(xk) = yk>.

Формулы численного вычисления однократного интеграла называются квадратурными формулами, двойного и более кратного — кубатурными.

Обычный прием построения квадратурных формул состоит в замене подынтегральной функции f(x) на отрезке [a,b] интерполирующей или аппроксимирующей функцией g(x) сравнительно простого вида, например, полиномом, с последующим аналитическим интегрированием. Это приводит к представлению

В пренебрежении остаточным членом R[f] получаем приближенную формулу

Обозначим через yi = f(xi) значение подинтегральной функции в различных точках на [a,b]. Квадратурные формулы являются формулами замкнутого типа, если x0=a , xn=b.

В качестве приближенной функции g(x) рассмотрим интерполяционный полином на в форме полинома Лагранжа:

при этом , где — остаточный член интерполяционной формулы Лагранжа.

В формуле (2) величины <> называются узлами, <> — весами, — погрешностью квадратурной формулы. Если веса <> квадратурной формулы вычислены по формуле (3), то соответствующую квадратурную формулу называют квадратурной формулой интерполяционного типа.

1. Веса <> квадратурной формулы (2) при заданном расположении узлов не зависят от вида подынтегральной функции.

2. В квадратурных формулах интерполяционного типа остаточный член Rn[f] может быть представлен в виде значения конкретного дифференциального оператора на функции f(x). Для

3. Для полиномов до порядка n включительно квадратурная формула (2) точна, т.е. . Наивысшая степень полинома, для которого квадратурная формула точна, называется степенью квадратурной формулы.

Рассмотрим частные случаи формул (2) и (3): метод прямоугольников, трапеций, парабол (метод Симпсона). Названия этих методов обусловлены геометрической интерпретацией соответствующих формул.

Метод прямоугольников

Определенный интеграл функции от функции f(x): численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривыми у=0, x=a, x=b, y=f(x) (рисунок. 1).

Рис. 1 Площадь под кривой y=f(x)

Для вычисления этой площади весь интервал интегрирования [a,b] разбивается на n равных подинтервалов длины h=(b-a)/n. Площадь под подынтегральной кривой приближенно заменяется на сумму площадей прямоугольников, как это показано на рисунке (2).

Рис. 2 Площадь под кривой y=f(x) аппроксимируется суммой площадей прямоугольников

Сумма площадей всех прямоугольников вычисляется по формуле

Метод, представленный формулой (4), называется методом левых прямоугольников, а метод, представленный формулой(5) — методом правых прямоугольников:

Погрешность вычисления интеграла определяется величиной шага интегрирования h. Чем меньше шаг интегрирования, тем точнее интегральная сумма S аппроксимирует значение интеграла I. Исходя из этого строится алгоритм для вычисления интеграла с заданной точностью. Считается, что интегральная сумма S представляет значение интеграла I c точностью eps, если разница по абсолютной величине между интегральными суммами и , вычисленными с шагом h и h/2 соответственно, не превышает eps.

Дополнительный член в формуле прямоугольников

Перейдём к отысканию дополнительного члена в формуле прямоугольников.

Справедливо следующее утверждение:

Утверждение. Если функция f(x) имеет на сегменте [a, b] непрерывную вторую производную, то на этом сегменте найдётся такая точка

, что дополнительный член R в формуле (1) равен

Оценим , считая, что функция f(x) имеет на сегменте [-h, h] непрерывную вторую производную Для этого подвергнем двукратному интегрированию по частям каждый из следующих двух интегралов:

Для первого из этих интегралов получим

Для второго из интегралов аналогично получим

Полусумма полученных для и выражений приводит к следующей формуле:

Оценим величину , применяя к интегралам и формулу среднего значения и учитывая неотрицательность функций и . Мы получим, что найдутся точка на сегменте [-h, 0] и точка на сегменте

[0 ,h] такие, что

В силу доказанного замечания на сегменте [-h, h] найдётся точка такая, что

Поэтому для полусуммы мы получим следующее выражение:

Подставляя это выражение в равенство (3), получим, что

Так как величина представляет собой площадь некоторого прямоугольника с основанием (рис.1), то формулы (4) и (5) доказывают, что ошибка, совершаемая при замене указанной площадью, имеет порядок

Таким образом, формула тем точнее, чем меньше h. Поэтому для вычисления интеграла естественно представить это интеграл в виде суммы достаточно большого числа n интегралов

И к каждому из указанных интегралов применить формулу (4). Учитывая при этом, что длина сегмента равна , мы получим формулу прямоугольников (1), в которой

Здесь . Мы воспользовались формулой, доказанной в утверждении, для функции

Пример вычисления определённого интеграла по формуле правых прямоугольников. Вычислите приближенное значение определенного интеграла

методам правых прямоугольников с точностью до одной сотой.

По условию имеем a = 1, b = 2, .

Чтобы применить формулы правых прямоугольников нам необходимо знать шаг h, а чтобы вычислить шаг h необходимо знать на какое число отрезков n разбивать отрезок интегрирования. Так как в условии задачи нам указана точность вычисления 0.01, то число n мы можем найти из оценки абсолютной погрешности методов правых прямоугольников.

Нам известно, что

Следовательно, если найти n, для которого будет выполняться неравенство

то будет достигнута требуемая степень точности.

Найдем — наибольшее значение модуля первой производной подынтегральной функции на отрезке [1]. В нашем примере это сделать достаточно просто.

Это есть парабола, ветви которой направлены вниз, на отрезке [1] ее график монотонно убывает. Поэтому достаточно вычислить модули значения производной на концах отрезка и выбрать наибольшее:

В примерах со сложными подынтегральными функциями Вам может потребоваться теория раздела наибольшее и наименьшее значение функции.

Число n не может быть дробным (так как n — натуральное число — количество отрезков разбиения интервала интегрирования). Поэтому, для достижения точности 0.01 по методу правых прямоугольников, мы можем брать любое n = 9, 10, 11, … Для удобства расчетов возьмем n = 10.

Формула правых прямоугольников имеет вид

Для ее применения нам требуется найти h и для n = 10.

Точки разбиения отрезка [a; b] определяются как .

И так далее до i = 10.

Полученные результаты удобно представлять в виде таблицы.

Подставляем в формулу правых прямоугольников:

Вычислим точное значение определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:

Очевидно, точность в одну сотую соблюдена.

Пример вычисление определенного интеграла по формуле правых прямоугольников в программе Excel. Формула правых прямоугольников.

В общем виде формула правых прямоугольников на отрезке [x0;xn] выглядит следующим образом.

В данной формуле x0=a, xn=b

h h можно вычислить по следующей формуле: h=(b-a)/n

y1, y2. yn — это значения соответствующей функции f(x) в точках x1, x2. xn (xi=xi-1+h).

Вычислить интеграл по формуле правых прямоугольников при n=10, используя программу Excel.

Для того, чтобы вычислить интеграл по формуле правых прямоугольников в Excel, необходимо выполнить следующие действия:

1. В ячейку С6 ввести текст y1,…,yn.

2. Ввести в ячейку С8 формулу =КОРЕНЬ(B8^4-B8^3+8), скопировать эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек С9:С17

3. Ввести в ячейку С18 формулу =СУММ(D7:D17).

4. Ввести в ячейку С19 формулу =B4*D18.

5. Ввести в ячейку С20 текст правых.

В итоге получается следующее:

Ответ: значение заданного интеграла равно 14,45905.

Программа вычисления по методу правых прямоугольников

var i,n:integer; a,b,h,x,xb,s:real;

begin f:=(1/x)*sin(3.14*x/2); end;

write(‘Введите нижний предел интегрирования ‘); readln(a);

write(‘Введите верхний предел интегрирования ‘); readln(b);

write(‘Введите количество отрезков ‘); readln(n);

begin x:=xb+i*h; s:=s+f(x)*h; end;

writeln(‘Интеграл равен ‘,s:12:10); readln;

a=1 b=2 n=10 S=18,05455

a=1 b=2 n=20 S=18,55555

a=1 b=2 n=100 S= 18,2734

Изложенный выше метод вычисления определенных интегралов содержит четко сформулированный алгоритм для проведения вычислений. Другой особенностью изложенного метода является стереотипность тех вычислительных операций, которые приходится производить на каждом отдельном шаге. Эти две особенности обеспечивают широкое применение изложенного метода для проведения вычислений на современных быстродействующих вычислительных машинах.

Выше для приближенного вычисления интеграла от функции f(x) мы исходили из разбиения основного сегмента [a, b] на достаточно большое число n равных частичных сегментов одинаковой длины h и из последующей замены функции f(x) на каждом частичном сегменте многочленом соответственно нулевого, первого или второго порядка.

Погрешность, возникающая при таком подходе, никак не учитывает индивидуальных свойств функции f(x). Поэтому, естественно, возникает идея о варьировании точек разбиения основного сегмента [a, b] на n, вообще говоря, не равных друг другу частичных сегментов, которое обеспечивало бы минимальную величину погрешности данной приближённой формулы.

Список литературы

1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления в 3-х томах, том II.

2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа, часть I. Москва «Наука», 1982г.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Задача численного интегрирования функций. Вычисление приближенного значения определенного интеграла. Нахождение определенного интеграла методами прямоугольников, средних прямоугольников, трапеций. Погрешность формул и сравнение методов по точности.

методичка [327,4 K], добавлен 01.07.2009

Вид определенного интеграла от непрерывной на заданном отрезке функции. Сущность квадратурных формул. Нахождение численного значения интеграла с помощью методов левых и правых прямоугольников, трапеций, парабол. Выведение общей формулы Симпсона.

презентация [120,3 K], добавлен 18.04.2013

Выбор точных методов численного интегрирования при наибольшем количестве разбиений. Вычисление интеграла аналитически, методом средних прямоугольников, трапеций, методом Симпсона. Вычисление интеграла методом Гаусса: двухточечная и трехточечная схема.

курсовая работа [366,2 K], добавлен 25.12.2012

Вычисление интеграла, выполнение интегрирования по частям. Применение метода неопределенных коэффициентов, приведение уравнения к системе. Введение вспомогательных функций в процессе поиска решения уравнения и вычисления интеграла, разделение переменных.

контрольная работа [617,2 K], добавлен 08.07.2011

Способы определения точного значения интеграла по формуле Ньютона-Лейбница и приближенного значения интеграла по формуле трапеций. Порядок нахождения координаты центра тяжести однородной плоской фигуры ограниченной кривой, особенности интегрирования.

контрольная работа [459,6 K], добавлен 16.04.2010

Необходимое и достаточное условие существования определенного интеграла. Равенство определенного интеграла от алгебраической суммы (разности) двух функций. Теорема о среднем – следствие и доказательство. Геометрический смысл определенного интеграла.

презентация [174,5 K], добавлен 18.09.2013

Математическая модель: определение интеграла и его геометрический смысл. Приближённые методы вычисления. Формула прямоугольников, трапеций, парабол. Программа для вычисления значения интеграла методом трапеций в среде пакета Matlab. Цикл if и for.

Численное интегрирование методом прямоугольников. Разработка программы для реализации метода прямоугольников с использованием подпрограмм. — презентация

Презентация на тему: » Численное интегрирование методом прямоугольников. Разработка программы для реализации метода прямоугольников с использованием подпрограмм.» — Транскрипт:

1 Численное интегрирование методом прямоугольников. Разработка программы для реализации метода прямоугольников с использованием подпрограмм

2 Цель урока рассмотреть приближенное вычисление интеграла методом прямоугольников разработать алгоритм и программу для реализации данного метода на компьютере

4 Какое число называется приближенным? Для чего нужны приближенные числа?

5 Что называется абсолютной и относительной погрешностью числа? По каким формулам они вычисляются? Относительная погрешность Абсолютная погрешность

6 Формула для вычисления определенного интеграла Формула Ньютона — Лейбница

7 Геометрический смысл интеграла Интеграл от функции на отрезке равен площади криволинейной трапеции

8 Найдите ошибку в вычислениях

9 Структура программы на Паскале Program ; Uses ; Const ; Type ; Label ; Var ; Procedure (Function) ; Begin End.

10 В каких случаях возникает необходимость использования подпрограмм при составлении программ? 1. когда какой-либо под алгоритм неоднократно повторяется в программе 2. имеется возможность использовать некоторые фрагменты уже разработанных ранее алгоритмов. 3. подпрограммы применяются для разбиения крупных программ на отдельные смысловые части в соответствии с модульным принципом в программировании.

11 Какие виды подпрограмм имеются в языке Паскаль? 1.Подпрограммы-функции 2.Подпрограммы-процедуры

12 Как называются параметры, использующиеся при записи текста подпрограммы в разделе описаний? Формальные

13 Как называются параметры, использующиеся при вызове подпрограммы? Фактические

14 При вызове процедур и функций необходимо соблюдать следующие правила: количество фактических параметров должно совпадать с количеством формальных; соответствующие фактические и формальные параметры должны совпадать по порядку следования и по типу.

20 Метод левых прямоугольников Метод правых прямоугольников Метод средних прямоугольников Блок- схема

21 Разработка программы для вычисления определенного интеграла методом левых прямоугольников

22 Задача. Разработать программу вычисления значения определенного интеграла от заданной функции методом левых прямоугольников. Подынтегральную функцию описать с помощью подпрограммы-функции

23 Постановка задачи Дано: f(x) – подынтегральная функция, а – нижний предел интегрирования, b – верхний предел интегрирования, n – количество элементарных отрезков Найти :

24 Формализация задачи Блок-схема задачи Начало Ввод a,b,n h=(b-a)/n s=0 xb=a i=0,n-1,1 x=xb+ih s=s+hf(x) Вывод s Конец

25 Блок-схема метода левых прямоугольников Программа метода левых прямоугольников Начало Ввод a,b,n h=(b-a)/n s=0 xb=a i=0,n-1,1 x=xb+ih s=s+hf(x) Вывод s Конец Program Integral1; uses crt; var i,n: integer; a,b,h,x,xb,s: real; function f(x:real):real; begin f:=……….. end; begin write(Введите нижний предел интегрирования); readln(a); write(Введите верхний предел интегрирования); Readln(b); write(Введите количество отрезков); readln(n); h:=(b-a)/n; s:=0; xb=a; for i:=0 to n-1 do begin x:=xb+i*h; s:=s+h*f(x); end; writeln(Интеграл равен,s:12:10); end.

26 Программа вычисления интеграла методом левых прямоугольников Program Integral1; <метод левых прямоугольников>uses crt; var i,n: integer; a,b,h,x,xb,s: real; function f(x:real):real; begin f:=……….. end; begin write(Введите нижний предел интегрирования); readln(a); write(Введите верхний предел интегрирования); readln(b); write(Введите количество отрезков); Readln(n); h:=(b-a)/n; s:=0; xb=a; for i:=0 to n-1 do begin x:=xb+i*h; s:=s+h*f(x); end; writeln(Интеграл равен,s:12:10); end. Program Integral1; <метод левых прямоугольников>uses crt; var i,n: integer; a,b,h,x,xb,s: real; function f(x:real):real; begin f:=……….. end; begin write(Введите нижний предел интегрирования); readln(a); write(Введите верхний предел интегрирования); readln(b); write(Введите количество отрезков); Readln(n); h:=(b-a)/n; s:=0; xb=a; for i:=0 to n-1 do begin x:=xb+i*h; s:=s+h*f(x); end; writeln(Интеграл равен,s:12:10); end.

28 Метод левых прямоугольников Метод правых прямоугольников Метод средних прямоугольников

29 Программа вычисления интеграла методом правых прямоугольников Program Integral1; <метод правых прямоугольников>Uses crt; Var i,n: integer; a,b,h,x,xb,s: real; function f(x:real):real; begin f:=……….. end; begin Write(Введите нижний предел интегрирования); Readln(a); Write(Введите верхний предел интегрирования); Readln(b); Write(Введите количество отрезков); Readln(n); h:=(b-a)/n; s:=0; xb=a; For i:=1 to n do Begin x:=xb+i*h; s:=s+f(x)*h; End; Writeln(Интеграл равен,s:12:10); end. Program Integral1; <метод правых прямоугольников>Uses crt; Var i,n: integer; a,b,h,x,xb,s: real; function f(x:real):real; begin f:=……….. end; begin Write(Введите нижний предел интегрирования); Readln(a); Write(Введите верхний предел интегрирования); Readln(b); Write(Введите количество отрезков); Readln(n); h:=(b-a)/n; s:=0; xb=a; For i:=1 to n do Begin x:=xb+i*h; s:=s+f(x)*h; End; Writeln(Интеграл равен,s:12:10); end.

31 Метод левых прямоугольников Метод правых прямоугольников Метод средних прямоугольников

32 Программа вычисления интеграла методом средних прямоугольников Program Integral1; <метод средних прямоугольников>Uses crt; Var i,n: integer; a,b,h,x,xb,s: real; function f(x:real):real; begin f:=……….. end; begin Write(Введите нижний предел интегрирования); Readln(a); Write(Введите верхний предел интегрирования); Readln(b); Write(Введите количество отрезков); Readln(n); h:=(b-a)/n; s:=0; xb=a+h/2; For i:=0 to n-1 do Begin x:=xb+i*h; s:=s+f(x)*h; End; Writeln(Интеграл равен,s:12:10); end. Program Integral1; <метод средних прямоугольников>Uses crt; Var i,n: integer; a,b,h,x,xb,s: real; function f(x:real):real; begin f:=……….. end; begin Write(Введите нижний предел интегрирования); Readln(a); Write(Введите верхний предел интегрирования); Readln(b); Write(Введите количество отрезков); Readln(n); h:=(b-a)/n; s:=0; xb=a+h/2; For i:=0 to n-1 do Begin x:=xb+i*h; s:=s+f(x)*h; End; Writeln(Интеграл равен,s:12:10); end.

34 вычислить интеграл одним из рассмотренных способом, меняя шаг разбиения запустить программу несколько раз меняя шаг вычислений n = 10; 100; сравнить полученное значение с найденным по формуле Ньютона-Лейбница. Для этого подсчитайте подсчитать относительную погрешность вычисления. результаты занести в сводную таблицу. сделать выводы. Таблица Компьютерный эксперимент

36 Домашнее задание Составьте проверочные вопросы по данной теме ( не менее 5). Выяснить, существуют ли другие способы приближенного вычисления определенных интегралов. Какие? В чем их суть? Составьте программу вычисления двух определенных интегралов от функций y=sin(x) и y=cos(x) на отрезке [0,π].

37 Считаете ли вы данный урок эффективным? В чем его эффективность? Какую пользу лично для себя вы извлекли из полученной информации?

Метод прямоугольников

Метод прямоугольников – это, пожалуй, самый простой метод приближённого вычисления определённого интеграла. И парадокс состоит в том, что по этой причине (видимо) он довольно редко встречается на практике. Неудивительно, что данная статья появилась на свет через несколько лет после того, как я рассказал о более распространённых методах трапеции и Симпсона, где упомянул о прямоугольниках лишь вскользь. Однако на сегодняшний день раздел об интегралах практически завершён и поэтому настало время закрыть этот маленький пробел. Читаем, вникаем и смотрим видео! ….о чём? Об интегралах, конечно =)

Постановка задачи уже была озвучена на указанном выше уроке, и сейчас мы быстренько актуализируем материал:

Рассмотрим интеграл . Он неберущийся. Но с другой стороны, подынтегральная функция непрерывна на отрезке , а значит, конечная площадь существует. Как её вычислить? Приближённо. И сегодня, как вы догадываетесь – методом прямоугольников.

Разбиваем промежуток интегрирования на 5, 10, 20 или бОльшее количество равных (хотя это не обязательно) отрезков, чем больше – тем точнее будет приближение. На каждом отрезке строим прямоугольник, одна из сторон которого лежит на оси , а противоположная – пересекает график подынтегральной функции. Вычисляем площадь полученной ступенчатой фигуры, которая и будет приближённой оценкой площади криволинейной трапеции (заштрихована на 1-м рисунке).

Очевидно, что прямоугольники можно построить многими способами, но стандартно рассматривают 3 модификации:

1) метод левых прямоугольников;
2) метод правых прямоугольников;
3) метод средних прямоугольников.

Оформим дальнейшие выкладки в рамках «полноценного» задания:

Вычислить определённый интеграл приближённо:
а) методом левых прямоугольников;
б) методом правых прямоугольников.

Промежуток интегрирования разделить на равных отрезков, результаты вычислений округлять до 0,001

Решение: признАюсь сразу, я специально выбрал такое малое значение – из тех соображений, чтобы всё было видно на чертеже – за что пришлось поплатиться точностью приближений.

Вычислим шаг разбиения (длину каждого промежуточного отрезка):

Метод левых прямоугольников получил своё называние из-за того,

что высОты прямоугольников на промежуточных отрезках равны значениям функции в левых концах данных отрезков:

Ни в коем случае не забываем, что округление следует проводить до трёх знаков после запятой – это существенное требование условия, и «самодеятельность» здесь чревата пометкой «оформите задачу, как следует».

Вычислим площадь ступенчатой фигуры, которая равна сумме площадей прямоугольников:

Таким образом, площадь криволинейной трапеции: . Да, приближение чудовищно грубое (завышение хорошо видно на чертеже), но и пример, повторюсь, демонстрационный. Совершенно понятно, что, рассмотрев бОльшее количество промежуточных отрезков (измельчив разбиение), ступенчатая фигура будет гораздо больше похожа на криволинейную трапецию, и мы получим лучший результат.

При использовании «правого» метода высОты прямоугольников равны значениям функции в правых концах промежуточных отрезков:

Вычислим недостающее значение и площадь ступенчатой фигуры:

– тут, что и следовало ожидать, приближение сильно занижено:

Запишем формулы в общем виде. Если функция непрерывна на отрезке , и он разбит на равных частей: , то определённый интеграл можно вычислить приближенно по формулам:
– левых прямоугольников;
– правых прямоугольников;
(формула в следующей задаче) – средних прямоугольников,
где – шаг разбиения.

В чём их формальное различие? В первой формуле нет слагаемого , а во второй —

На практике рассчитываемые значения удобно заносить в таблицу:

а сами вычисления проводить в Экселе. И быстро, и без ошибок:

Ответ:

Наверное, вы уже поняли, в чём состоит метод средних прямоугольников:

Вычислить приближенно определенный интеграл методом прямоугольников с точностью до 0,01. Разбиение промежутка интегрирования начать с отрезков.

Решение: во-первых, обращаем внимание, что интеграл нужно вычислить с точностью до 0,01. Что подразумевает такая формулировка?

Если в предыдущей задаче требовалось прОсто округлить результаты до 3 знаков после запятой (а уж насколько они будут правдивы – не важно), то здесь найденное приближённое значение площади должно отличаться от истины не более чем на .

И во-вторых, в условии задачи не сказано, какую модификацию метода прямоугольников использовать для решения. И действительно, какую?

По умолчанию всегда используйте метод средних прямоугольников

Почему? А он при прочих равных условиях (том же самом разбиении) даёт гораздо более точное приближение. Это строго обосновано в теории, и это очень хорошо видно на чертеже:

В качестве высот прямоугольников здесь принимаются значения функции, вычисленные в серединах промежуточных отрезков, и в общем виде формула приближённых вычислений запишется следующим образом:
, где – шаг стандартного «равноотрезочного» разбиения .

Следует отметить, что формулу средних прямоугольников можно записать несколькими способами, но чтобы не разводить путаницу, я остановлюсь на единственном варианте, который вы видите выше.

Вычисления, как и в предыдущем примере, удобно свести в таблицу. Длина промежуточных отрезков, понятно, та же самая: – и очевидно, что расстояние между серединами отрезков равно этому же числу. Поскольку требуемая точность вычислений составляет , то значения нужно округлять «с запасом» – 4-5 знаками после запятой:

Вычислим площадь ступенчатой фигуры:

Давайте посмотрим, как автоматизировать этот процесс:

Таким образом, по формуле средних прямоугольников:

Как оценить точность приближения? Иными словами, насколько далёк результат от истины (площади криволинейно трапеции)? Для оценки погрешности существует специальная формула, однако, на практике её применение зачастую затруднено, и поэтому мы будем использовать «прикладной» способ:

Вычислим более точное приближение – с удвоенным количеством отрезков разбиения: . Алгоритм решения точно такой же: .

Найдём середину первого промежуточного отрезка и далее приплюсовываем к полученному значению по 0,3. Таблицу можно оформить «эконом-классом», но комментарий о том, что изменяется от 0 до 10 – всё же лучше не пропускать:

В Экселе вычисления проводятся «в один ряд» (кстати, потренируйтесь), а вот в тетради таблицу, скорее всего, придётся сделать двухэтажной (если у вас, конечно, не сверхмелкий почерк).

Вычислим суммарную площадь десяти прямоугольников:

Таким образом, более точное приближение:

Теперь находим модуль разности между двумя приближениями:

Как я уже отмечал в статье Приближённое вычисление определенных интегралов, на практике довольно часто встречается упрощённый подход: поскольку разность больше требуемой точности , то снова удваиваем количество отрезков, находим и разность , которая, очевидно, уже «уложится» в нашу точность: .

Однако существует более эффективный путь решения, основанный на применении правила Рунге, которое утверждает, что при использовании метода средних прямоугольников мы ошибаемся в оценке определённого интеграла менее чем на (! для методов правых и левых прямоугольников правило использовать нельзя!).

В нашем случае: , то есть требуемая точность на самом деле достигнута, и необходимость в вычислении отпадает.

Округляем наиболее точное приближение до двух знаков после запятой и записываем ответ: с точностью до 0,01

Ещё раз – что это значит? Это значит, что площадь криволинейной трапеции гарантированно отличается от найденного приближённого значения 2,59 не более чем на 0,01.

В Примере 2 урока метод трапеций и метод Симпсона я вычислил приближённое значение этого же интеграла методом трапеций. Любознательные читатели могут сравнить полученные здесь и там результаты.

Вернемся ещё к одному маленькому нюансу, который выпал из поля зрения в самом начале урока: обязательно ли в рассматриваемом задании интеграл должен быть неберущимся? Конечно, нет. Приближённые методы вычисления прекрасно работают и для берущихся определённых интегралов. Заключительный школьный, а точнее, техникумовский пример для самостоятельного решения:

Вычислить интеграл приближённо на отрезках разбиения:

1) методом левых прямоугольников;
2) методом правых прямоугольников;
3) методом средних прямоугольников.

Вычислить более точное значение интеграла с помощью формулы Ньютона-Лейбница. Для каждого из трёх случаев найти абсолютную погрешность. Вычисления округлять до 4 знаков после запятой.

Не нужно пугаться такого развёрнутого условия – всё элементарно «перещёлкивается» в Экселе. Напоминаю, что абсолютная погрешность – это модуль разности между точным и приближённым значением. Кстати, обратите внимание на принципиальную разницу: если в предыдущих примерах речь шла лишь об оценке погрешности, то здесь нам будут известны конкретные значения этих погрешностей (т.к. интеграл берётся, и мы достоверно знаем 4 верных цифры после запятой).

Краткое решение и ответ уже, наверное, показались на вашем экране.

И, завершая эту небольшую статью, хочу отметить, что иногда метод прямоугольников ошибочно называют «плохим», «неточным» и т.п. Ничего подобного! Если уж на то пошло, его корректнее назвать «медленным» методом. Иными словами, чтобы достигнуть определённой точности – нужно рассмотреть бОльшее количество отрезков разбиения по сравнению с более эффективными методом трапеций и ещё более «быстрым» методом Симпсона.

Которые я и предлагаю вам изучить!

Пример 3: Решение: вычислим шаг разбиения:
Заполним расчётную таблицу:

Вычислим интеграл приближённо методом:
1) левых прямоугольников:
;
2) правых прямоугольников:
;
3) средних прямоугольников:
.

Вычислим интеграл более точно по формуле Ньютона-Лейбница:

и соответствующие абсолютные погрешности вычислений:

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам

cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5

Tutoronline.ru – онлайн репетиторы по математике и другим предметам

Метод прямоугольников

Метод прямоугольников — метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене подынтегральной функции на многочлен нулевой степени, то есть константу, на каждом элементарном отрезке. Если рассмотреть график подынтегральной функции, то метод будет заключаться в приближённом вычислении площади под графиком суммированием площадей конечного числа прямоугольников, ширина которых будет определяться расстоянием между соответствующими соседними узлами интегрирования, а высота — значением подынтегральной функции в этих узлах. Алгебраический порядок точности равен 0.

1. Формуле левых прямоугольников: ∫ a b f ( x ) d x ≈ f ( a ) ( b − a ) . f(x),dxapprox f(a)(b-a).>
2. Формуле правых прямоугольников: ∫ a b f ( x ) d x ≈ f ( b ) ( b − a ) . f(x),dxapprox f(b)(b-a).>
3. Формуле прямоугольников (средних): ∫ a b f ( x ) d x ≈ f ( a + b 2 ) ( b − a ) . f(x),dxapprox fleft(<2>>right)(b-a).>

1. Для левых прямоугольников: ∫ a b f ( x ) d x ≈ ∑ i = 0 n − 1 f ( x i ) ( x i + 1 − x i ) . f(x),dxapprox sum _^f(x_)(x_-x_).>
2. Для правых прямоугольников: ∫ a b f ( x ) d x ≈ ∑ i = 1 n f ( x i ) ( x i − x i − 1 ) . f(x),dxapprox sum _^f(x_)(x_-x_).>
3. Для средних прямоугольников: ∫ a b f ( x ) d x ≈ ∑ i = 0 n − 1 f ( x i + x i + 1 2 ) ( x i + 1 − x i ) = ∑ i = 1 n f ( x i − 1 + x i 2 ) ( x i − x i − 1 ) . f(x),dxapprox sum _^fleft(+x_><2>>right)(x_-x_)=sum _^fleft(+x_><2>>right)(x_-x_).>

Формулу с вычислением значения в средней между двумя узлами точке можно применять лишь тогда, когда подынтегральная функция задана аналитически, либо каким-нибудь иным способом, допускающим вычисление значения в произвольной точке. В задачах, где функция задана таблицей значений остаётся лишь вычислять среднее значение между интегралами, посчитанными по формулам левых и правых прямоугольников соответственно, что приводит к составной квадратурной формуле трапеций.

Равномерную сетку можно описать следующим набором формул:

Для равномерных сеток формулы прямоугольников можно записать в виде следующих формул Котеса:

1. Составная формула левых прямоугольников: ∫ a b f ( x ) d x ≈ h ∑ i = 0 n − 1 f i = h ( f 0 + f 1 + … + f n − 1 ) . f(x),dxapprox hsum _^f_=h(f_<0>+f_<1>+ldots +f_).>
2. Составная формула правых прямоугольников: ∫ a b f ( x ) d x ≈ h ∑ i = 1 n f i = h ( f 1 + f 2 + … + f n ) . f(x),dxapprox hsum _^f_=h(f_<1>+f_<2>+ldots +f_).>

Для формул правых и левых прямоугольников погрешность составляет

Для формулы прямоугольников (средних)

Для составных формул правых и левых прямоугольников на равномерной сетке:

Для составной формулы прямоугольников:

Формула средних прямоугольников для аналитически заданной функции, написанная на С++