Интерполяционная формула Лагранжа

Интерполяционная формула Лагранжа

Приобретение практических навыков в построении интерполяционного многочлена Лагранжа и использование его для вычисления приближенных значений функций вне узлов интерполяции.

Приобретение практических навыков построения аппроксимирующих функций (аналитических зависимостей) по совокупности дискретных экспериментальных данных об изменениях значений функции при изменениях значений аргумента.

Задание

Для функций, заданных в таблице 1:

· построить интерполяционный многочлен Лагранжа и вычислить по нему значения функции для заданных значений аргумента;

· изучить технологию расчетов интерполяционных многочленов в Excel;

Для функций, заданных в таблице 2:

· Вычислить коэффициенты аппроксимирующих многочленов 1-й и 2-й степени, записать многочлены и построить их графики, на которые нанести также заданные табличные точки (расчеты выполнить в виде таблиц);

· изучить технологию регрессионного анализа с помощью Excel.

Интерполирование функций

Постановка задачи

Для функций, заданных таблицами их значений на конечном интервале, возникает необходимость вычисления значений функций для значений аргументов, отсутствующих в таблице. Тогда строят функцию, которая в заданных точках принимает заданные значения, а в остальных точках интервала приближенно представляет заданную функцию. А затем вычисления значений функции для любых значений аргумента в области определения заданной таблично функции выполняют по построенной функции. Задача интерполирования – построение такой приближенной функции. Чаще всего интерполирующую функцию отыскивают в виде алгебраического многочлена. Геометрически задача интерполирования заключается в построении кривой , проходящей через заданную таблично систему точек.

Интерполяционная формула Лагранжа

Пусть функция в точках соответственно принимает значения .Требуется построить многочлен степени не выше n, принимающий в точках (узлах интерполирования) значения . Расстояние между узлами интерполирования может быть различным. Решение этой задачи – многочлен Лагранжа.

Интерполяционная формула Лагранжа в общем виде

где – базисные функции, числитель которых содержит все разности , а знаменатель – все разности за исключением .

При этом в точках значения многочлена и функции совпадают. При других значениях разность в общем случае отлична от нуля и представляет собой истинную ошибку метода. Величина является остаточным членом интерполяции.

Пример 1.1. Запишем интерполяционный многочлен для функции, заданной тремя точками:

Построить интерполяционный многочлен Лагранжа и вычислить приближенно значение функции для .

Для построения интерполяционного многочлена воспользуемся формулой при :

Проверяем значения функции для узлов интерполяции:

Интерполяционную формулу в Ехсеl можно построить достаточно простым способом. С практической точки зрения главная проблема заключается в вычислении в произвольной точке значений базисных функций.

Пример 1.2. Запишем интерполяционный многочлен для функции, заданной шестью точками:

На рис. 1.1 представлены исходные данные, по которым будет выполняться интерполяция. На этом же рисунке проиллюстрирован процесс определения первой базисной функции.

В диапазоне ячеек А6:А11представлены заданные значения аргументов функции, а в диапазоне ячеек В6:В11– значения функции для узловых точек аргумента. В ячейку А2вводится значение аргумента, для которого необходимо вычислить значение интерполяционного полинома. Значение полинома будет выводиться в ячейке В2.Важным моментом является заполнение ячеек в диапазоне С6:С11,где будут отображаться значения базисных функций в точке, указанной в ячейке А2.Именно по этим значениям и значениям ячеек из диапазона А6:А11определяется значение интерполяционного полинома (ячейка В2).

Диапазон С6:С11заполняется так: отдельно первая и последняя ячейки диапазона, а все остальные ячейки — распространением одной формулы. В частности, в ячейку С6вводится формула

согласно которой определяется первая базисная функция. Сразу следует отметить, что и эта формула, и все прочие формулы из диапазона С6:С11,вводятся как формулы для диапазонов, т.е. с помощью нажатия комбинации клавиш Ctrl+Shift+Enter.Причина состоит в том, что аргументами функции ПРОИЗВЕД() указываются результаты арифметическихопераций с диапазонами.

Далее заполняются ячейки из диапазона С7:С10.Для этого в ячейку С7вводится формула

Абсолютные и относительные ссылки в формуле подобраны так, чтобы при ее копировании в следующие ячейки, ссылки на начальную А6 и конечную А11ячейки диапазона, равно как и на ячейку А2со значением переменной, для которой вычисляется базисная функция (и весь полином), оставались неизменными. Это абсолютные ссылки. Вместе с тем, в процессе копирования формулы произведения в ней вычисляются без учета значения аргумента в той строке, где размещена формула. После ввода формулы в ячейку С7данная формула с помощью маркера заполнения копируется во все ячейки, вплоть до С10 (Рис. 1.2).

Наконец, в ячейку С11необходимо ввести формулу

Поскольку формулы из начальной С6 и конечной С11ячеек диапазона С6:С11никуда копировать не предполагается, то и ссылки там относительные. Результат можно видеть на рис. 1.3.

После этого осталось только вычислить интерполяционный полином. Для этого достаточно в ячейку В2ввести формулу

Эта формула вводится как обычная, то есть нужно нажать клавишу Enter.Результат представлен на рис. 1.4.

Чтобы посчитать значение полинома в какой-то точке, соответствующее значение следует ввести в ячейку А2. В ячейке В2практически сразу появится результат.

На рис. 1.5 проиллюстрирована ситуация, когда в качестве аргумента указано узловое значение. Как и следовало ожидать, в узловой точке значение интерполяционного полинома равно табличному значению функции в этой точке, а все базисные функции, кроме той, что соответствует указанному узлу, равны нулю. Отличная от нуля базисная функция равна единице.

Определение промежуточного значения методом линейной интерполяции

Задача: некоторые инженерные проблемы проектирования требуют использования таблиц для вычисления значений параметров. Поскольку таблицы являются дискретными, дизайнер использует линейную интерполяцию для получения промежуточного значения параметра. Таблица (рис. 1) включает высоту над землей (управляющий параметр) и скорость ветра (рассчитываемый параметр). Например, если надо найти скорость ветра, соответствующую высоте 47 метров, то следует применить формулу: 130 + (180 – 130) * 7 / (50 – 40) = 165 м/сек.

Рис. 1. Высота над землей (управляющий параметр) и скорость ветра (рассчитываемый параметр)

Скачать заметку в формате Word или pdf, примеры в формате Excel

Как быть, если существует два управляющих параметра? Можно ли выполнить вычисления с помощью одной формулы? В таблице (рис. 2) показаны значения давления ветра для различных высот и величин пролета конструкций. Требуется вычислить давление ветра на высоте 25 метров и величине пролета 300 метров.

Рис. 2. Исходная таблица для интерполяции по двум управляющим параметрам

Решение: проблему решаем путем расширения метода, используемого для случая с одним управляющим параметром. Выполните следующие действия.

Начните с таблицы, изображенной на рис. 2. Добавьте исходные ячейки для высоты и пролета в J1 и J2 соответственно (рис. 3).

Рис. 3. Формулы в ячейках J3:J17 объясняют работу мегаформулы

Для удобства использования формул определите имена (рис. 4).

Рис. 4. Определенные имена

Проследите за работой формулы последовательно переходя от ячейки J3 к ячейке J17.

Путем обратной последовательной подстановки соберите мегаформулу. Скопируйте текст формулы из ячейки J17 в J19. Замените в формуле ссылку на J15 на значение в ячейке J15: J7+(J8-J7)*J11/J13. И так далее. Получится формула, состоящая из 984 символов, которую невозможно воспринять в таком виде. Вы можете посмотреть на нее в приложенном Excel-файле. Не уверен, что такого рода мегаформулы полезны в использовании.

Резюме: линейная интерполяция используется для получения промежуточного значения параметра, если табличные значения заданы только для границ диапазонов; предложен метод расчета по двум управляющим параметрам.

Аппроксимация в Excel

(Обратите внимание на дополнительный раздел от 04.06.2017 в конце статьи.)

Учет и контроль! Те, кому за 40 должны хорошо помнить этот лозунг из эпохи построения социализма и коммунизма в нашей стране.

Но без хорошо налаженного учета невозможно эффективное функционирование ни страны, ни области, ни предприятия, ни домашнего хозяйства при любой общественно-экономической формации общества! Для составления прогнозов и планов деятельности и развития необходимы исходные данные. Где их брать? Только один достоверный источник – это ваши статистические учетные данные предыдущих периодов времени.

Учитывать результаты своей деятельности, собирать и записывать информацию, обрабатывать и анализировать данные, применять результаты анализа для принятия правильных решений в будущем должен, в моем понимании, каждый здравомыслящий человек. Это есть ничто иное, как накопление и рациональное использование своего жизненного опыта. Если не вести учет важных данных, то вы через определенный период времени их забудете и, начав заниматься этими вопросами вновь, вы опять наделаете те же ошибки, что делали, когда впервые этим занимались.

«Мы, помню, 5 лет назад изготавливали до 1000 штук таких изделий в месяц, а сейчас и 700 еле-еле собираем!». Открываем статистику и видим, что 5 лет назад и 500 штук не изготавливали…

«Во сколько обходится километр пробега твоего автомобиля с учетом всех затрат?» Открываем статистику – 6 руб./км. Поездка на работу – 107 рублей. Дешевле, чем на такси (180 рублей) более чем в полтора раза. А бывали времена, когда на такси было дешевле…

«Сколько времени требуется для изготовления металлоконструкций уголковой башни связи высотой 50 м?» Открываем статистику – и через 5 минут готов ответ…

«Сколько будет стоить ремонт комнаты в квартире?» Поднимаем старые записи, делаем поправку на инфляцию за прошедшие годы, учитываем, что в прошлый раз купили материалы на 10% дешевле рыночной цены и – ориентировочную стоимость мы уже знаем…

Ведя учет своей профессиональной деятельности, вы всегда будете готовы ответить на вопрос начальника: «Когда. ». Ведя учет домашнего хозяйства, легче спланировать расходы на крупные покупки, отдых и прочие расходы в будущем, приняв соответствующие меры по дополнительному заработку или по сокращению необязательных расходов сегодня.

В этой статье я на простом примере покажу, как можно обрабатывать собранные статистические данные в Excel для возможности дальнейшего использования при прогнозировании будущих периодов.

Аппроксимация в Excel статистических данных аналитической функцией.

Производственный участок изготавливает строительные металлоконструкции из листового и профильного металлопроката. Участок работает стабильно, заказы однотипные, численность рабочих колеблется незначительно. Есть данные о выпуске продукции за предыдущие 12 месяцев и о количестве переработанного в эти периоды времени металлопроката по группам: листы, двутавры, швеллеры, уголки, трубы круглые, профили прямоугольного сечения, круглый прокат. После предварительного анализа исходных данных возникло предположение, что суммарный месячный выпуск металлоконструкций существенно зависит от количества уголков в заказах. Проверим это предположение.

Прежде всего, несколько слов об аппроксимации. Мы будем искать закон – аналитическую функцию, то есть функцию, заданную уравнением, которое лучше других описывает зависимость общего выпуска металлоконструкций от количества уголкового проката в выполненных заказах. Это и есть аппроксимация, а найденное уравнение называется аппроксимирующей функцией для исходной функции, заданной в виде таблицы.

1. Включаем Excel и помещаем на лист таблицу с данными статистики.

2. Далее строим и форматируем точечную диаграмму, в которой по оси X задаем значения аргумента – количество переработанных уголков в тоннах. По оси Y откладываем значения исходной функции – общий выпуск металлоконструкций в месяц, заданные таблицей.

О том, как построить подобную диаграмму, подробно рассказано в статье «Как строить графики в Excel?».

3. «Наводим» мышь на любую из точек на графике и щелчком правой кнопки вызываем контекстное меню (как говорит один мой хороший товарищ — работая в незнакомой программе, когда не знаешь, что делать, чаще щелкай правой кнопкой мыши…). В выпавшем меню выбираем «Добавить линию тренда…».

4. В появившемся окне «Линия тренда» на вкладке «Тип» выбираем «Линейная».

5. Далее на вкладке «Параметры» ставим 2 галочки и нажимаем «ОК».

6. На графике появилась прямая линия, аппроксимирующая нашу табличную зависимость.

Мы видим кроме самой линии уравнение этой линии и, главное, мы видим значение параметра R 2 – величины достоверности аппроксимации! Чем ближе его значение к 1, тем наиболее точно выбранная функция аппроксимирует табличные данные!

7. Строим линии тренда, используя степенную, логарифмическую, экспоненциальную и полиномиальную аппроксимации по аналогии с тем, как мы строили линейную линию тренда.

Лучше всех из выбранных функций аппроксимирует наши данные полином второй степени, у него максимальный коэффициент достоверности R 2 .

Однако хочу вас предостеречь! Если вы возьмете полиномы более высоких степеней, то, возможно, получите еще лучшие результаты, но кривые будут иметь замысловатый вид…. Здесь важно понимать, что мы ищем функцию, которая имеет физический смысл. Что это означает? Это означает, что нам нужна аппроксимирующая функция, которая будет выдавать адекватные результаты не только внутри рассматриваемого диапазона значений X, но и за его пределами, то есть ответит на вопрос: «Какой будет выпуск металлоконструкций при количестве переработанных за месяц уголков меньше 45 и больше 168 тонн!» Поэтому я не рекомендую увлекаться полиномами высоких степеней, да и параболу (полином второй степени) выбирать осторожно!

Итак, нам необходимо выбрать функцию, которая не только хорошо интерполирует табличные данные в пределах диапазона значений X=45…168, но и допускает адекватную экстраполяцию за пределами этого диапазона. Я выбираю в данном случае логарифмическую функцию, хотя можно выбрать и линейную, как наиболее простую. В рассматриваемом примере при выборе линейной аппроксимации в excel ошибки будут больше, чем при выборе логарифмической, но не на много.

8. Удаляем все линии тренда с поля диаграммы, кроме логарифмической функции. Для этого щелкаем правой кнопкой мыши по ненужным линиям и в выпавшем контекстном меню выбираем «Очистить».

9. В завершении добавим к точкам табличных данных планки погрешностей. Для этого правой кнопкой мыши щелкаем на любой из точек на графике и в контекстном меню выбираем «Формат рядов данных…» и настраиваем данные на вкладке «Y-погрешности» так, как на рисунке ниже.

10. Затем щелкаем по любой из линий диапазонов погрешностей правой кнопкой мыши, выбираем в контекстном меню «Формат полос погрешностей…» и в окне «Формат планок погрешностей» на вкладке «Вид» настраиваем цвет и толщину линий.

Аналогичным образом форматируются любые другие объекты диаграммы в Excel!

Окончательный результат диаграммы представлен на следующем снимке экрана.

Итоги.

Результатом всех предыдущих действий стала полученная формула аппроксимирующей функции y=-172,01*ln (x)+1188,2. Зная ее, и количество уголков в месячном наборе работ, можно с высокой степенью вероятности (±4% — смотри планки погрешностей) спрогнозировать общий выпуск металлоконструкций за месяц! Например, если в плане на месяц 140 тонн уголков, то общий выпуск, скорее всего, при прочих равных составит 338±14 тонн.

Для повышения достоверности аппроксимации статистических данных должно быть много. Двенадцать пар значений – это маловато.

Из практики скажу, что хорошим результатом следует считать нахождение аппроксимирующей функции с коэффициентом достоверности R 2 >0,87. Отличный результат – при R 2 >0,94.

На практике бывает трудно выделить один самый главный определяющий фактор (в нашем примере – масса переработанных за месяц уголков), но если постараться, то в каждой конкретной задаче его всегда можно найти! Конечно, общий выпуск продукции за месяц реально зависит от сотни факторов, для учета которых необходимы существенные трудозатраты нормировщиков и других специалистов. Только результат все равно будет приблизительным! Так стоит ли нести затраты, если есть гораздо более дешевое математическое моделирование!

В этой статье я лишь прикоснулся к верхушке айсберга под названием сбор, обработка и практическое использование статистических данных. О том удалось, или нет, мне расшевелить ваш интерес к этой теме, надеюсь узнать из комментариев и рейтинга статьи в поисковиках.

Затронутый вопрос аппроксимации функции одной переменной имеет широкое практическое применение в разных сферах жизни. Но гораздо большее применение имеет решение задачи аппроксимации функции нескольких независимых переменных…. Об этом и не только читайте в следующих статьях на блоге.

Подписывайтесь на анонсы статей в окне, расположенном в конце каждой статьи или в окне вверху страницы.

Не забывайте подтверждать подписку кликом по ссылке в письме, которое придет к вам на указанную почту (может прийти в папку «Спам»).

С интересом прочту Ваши комментарии, уважаемые читатели! Пишите!

P.S. (04.06.2017)

Высокоточная красивая замена табличных данных простым уравнением.

Вас не устраивают полученные точность аппроксимации (R 2 <0,95) или вид и набор функций, предлагаемые MS Excel?

Размеры выражения и форма линии аппроксимирующего полинома высокой степени не радует глаз?

Обращайтесь через страницу «Обратная связь» для получения более точного и компактного результата аппроксимации ваших табличных данных и для того, чтобы узнать простую методику решения задач высокоточной аппроксимации функцией одной переменной.

Далее на скриншоте в качестве сравнения представлены результаты поиска аппроксимирующей функции при помощи Excel и при помощи предлагаемой методики.

При использовании предлагаемого алгоритма действий найдена весьма компактная функция, обеспечивающая высочайшую точность аппроксимации: R 2 =0,9963.

Экстраполяция и интерполяция. Подводные камни расчетов

Экстраполяция и интерполяция прописаны как варианты основного расчета проектных работ в «Методических указаниях по применению справочников базовых цен на проектные работы в строительстве» 2009 года. Подробнее о формулах расчета в видео ниже.

Рассмотрим наиболее распространённые сложные случаи расчета, которые не относятся к типовым.

Экстраполяция

1. Объем меньше, предусмотренного расценкой из СБЦ, более чем в 2 раза

(Х заданный меньше Х минимального, более чем в 2 раза)

Очень долго единственным вариантом расчета для таких случаев был расчет по трудоемкости. Этот вариант очень неудобен, поскольку документов с нормативной трудоемкостью нет.

В порядке исключения и только в ситуации, когда Х заданный меньше Х минимального более, чем в 2 раза, допускалось считать по разъяснения ЦЕНТРИНВЕСТпроекта с применением понижающего расчетного коэффициента.

Формула в этом случае выглядит так:

• (A + B * (0.4 * Xмин + 0.6 * (Xмин / 2))) * Количество * Ктек*Кпон
• А и В- основные показатели из СБЦ
• Хмин – минимальное значение переменной из СБЦ
• Количество – количество объектов
• Ктек- коэффициент перехода в текущие цены
• Кпон = Х заданный фактический/ Х заданный расчетный

Минимальное значение понижающего коэффициента устанавливалось для бюджетных заказчиков Муниципалитетом, для внебюджетных приказом по организации.

С 2021 года планируется утвердить расчет с понижающим коэффициентом для значений меньше минимального более, чем в два раза и расчет по экстраполяции для значений больше максимальных без ограничений.

Планируется также зафиксировать минимальное значение понижающего коэффициента на уровне 0,1.

2. Объем больше, предусмотренного расценкой из СБЦ, более чем в 2 раза.

В декабре 2019г. ЦЕНТРИНВЕСТпроект ответил на этот вопрос. Мы можем пойти четырьмя путями

• • Расчет по 3П (Неудобен, так как нет нормативов).
• • Расчет по аналогии возможно использование данные проектной документации, получившей положительное заключения государственной экспертизы, по сметной стоимости проектирования аналогичных систем (система, имеющая функциональные, конструктивные, параметрические сходства). Минус расчета в том, что эти данные надо сначала найти, а они не всегда есть в открытых источниках.
• • Расчет по экстраполяции с Хзаданным расчетным. Каким бы ни был реальный объем, в смете объем принимается условно равным Х максимальный*2
• • Разбить весь объем на участки/группы. Х заданный каждого участка не должен превышать Хмаксимальный*2, начиная со второго участка/группы применяется коэффициент привязки (понижающий)

3.В расценке есть только А, в наименовании указано «до…» или «свыше… до…»

Расчет сделан на основе Разъяснения ОАО «ЦЕНТРИНВЕСТ проект» за август 2011года.

В случае, когда реальный объем отличается от предусмотренного расценкой у нас есть 2 варианта расчета.

• • Рассчитать цену за объект, вне зависимости от объема/количества мест
• • Рассчитать по экстраполяции в сторону уменьшения

(An + (An-Aпред) / (Хn-Хпред) * (Хзад-Xn) * 0.6) * Ктек при Х>Хn

(A1 — (Aслед-A1) / (Хслед-Х1) * (Х1-Хзад) * 0.6) * Ктек при Х<Х1

Для сравнения в формулах экстраполяции из Методических указаний 2009г. расчет приводится только для двух переменных А и В . не учитывая ситуации, когда есть только показатель А.

Интерполяция

Интерполяция прописана в Методических указаниях 2009г. Пример 2. В примере приводится расчет, но не прописаны формулы. На основании этого расчета мы определили основные схемы.

• • Если показатель мощности Хзад = Х указанному в расценке, то Ц = A*Ктек*Кст
• • Если Хn-1<Х<Хn, то Ц = (An-1+((An-An-1)/(Хn-1-Хn)) * (Хзад-Хn-1))*Ктек*Кст
• • Если Хзад меньше Х1, то Ц = (A1-((A2-A1)/(Х2-Х1)) * (Х1-Хзад)*0,6)*Ктек*Кст
• • Если Хзад больше Хn, то Ц = (An+((An-A(n-1))/(Хn-Х(n-1)) )* (Хзад-Хn)*0,6)*Ктек*Кст

А-ценовой показатель из СБЦ

Х- величина переменной

Это базовые формулы, но встречаются и особенные расценки, Например, табл.9 СБЦ Коммунальные инженерные сети и сооружения, 2012г. В данном случае следует учитывать 2 переменных, в том числе и для интерполяции

Расчет стоимости проектирования тепловых сетей

Расчет сделан с учетом Разъяснения ОАО «ЦЕНТРИНВЕСТпроект» за ноябрь 2012 г.

Формулы для нетиповых случаев:

Cпред = Aпред + Bпред * Xзад

Cслед = Aслед + Bслед * Xзад

(Cслед — (Сслед — Спред) / (dслед — dпред) * (dслед — d)) * * Ктек

Cпред = Aпред + Bпред * Xзад

Cслед = Aслед + Bслед * Xзад

(Cпред — (Сслед — Спред) / (dслед — dпред) * (dпред — d) * 0.6) * Ктек

Cпред = Aпред + Bпред * Xзад

Cслед = Aслед + Bслед * Xзад

(Cслед + (Сслед — Спред) / (dслед — dпред) * (d — dслед) * 0.6) * Ктек

Примерно половина из более 50 нетиповых расчетов, связаны с расчетами по экстраполяции или интерполяции.

В программе «АДЕПТ: ПРОЕКТ» применение нужной формулы происходит автоматически при проставлении переменной/объема, что избавляет пользователя от ошибок в расчетах, а также от необходимости держать в уме большое количество разъяснений для различных ситуаций.

Все типовые расчеты и ситуации их применения подробно расписаны Методических указаниях 2009. В программе АДЕПТ: ПРОЕКТ эти Методические указания находится в разделе Текстовые документы, подраздел Документы, регламентирующие порядок применения СЦ, СБЦ.

Методическое пособие по ПК «ГРАНД-Смета» версия 7

Расчёт с использованием интерполяции и экстраполяции

До сих пор мы рассматривали примеры групповых расценок, где для каждой единичной расценки в группе определены постоянные величины A и B, позволяющие учитывать при расчёте стоимости проектируемого объекта его точные характеристики (производительность, протяжённость и т. п.). Наряду с этим в нормативной базе также имеются группы расценок, для которых в таблице приведено только значение постоянной величины А, и вместо диапазонов указаны конкретные значения основного показателя проектируемого объекта.

В качестве наглядного примера рассмотрим в том же сборнике СБЦ11. Объекты водоснабжения и канализации (2008) группу расценок СБЦ11-4-1-65÷СБЦ11-4-1-73 для объектов Сооружения очистки промывной воды производительностью по промывной воде.

При работе с такими группами расценок прямой расчёт возможен только в случаях, когда основной показатель объекта в точности совпадает с каким-либо значением в таблице. А если требуется расчёт стоимости проектирования объекта, основной показатель которого не совпадает с приведёнными в таблице, производится расчёт путём интерполяции или экстраполяции – причём в отличие от предыдущего пункта здесь рассматривается экстраполяция с участием двух граничных значений.

Интерполяция выполняется в ситуации, когда заданный основной показатель проектируемого объекта находится между двумя показателями, приведёнными в таблице. Тогда как экстраполяция выполняется в ситуации, когда заданный основной показатель проектируемого объекта выше или ниже всех показателей, приведённых в таблице – в этом случае производится расчёт с участием нормативных показателей двух граничных единичных расценок из группы: последней и предпоследней или, соответственно, первой и второй.

Таким образом, в каждом из приведённых ниже примеров расчёта стоимости позиции сметы участвуют две единичных расценки из группы; при этом соответствующие строки в таблице стоимостей в окне с дополнительной информацией о позиции выделены синим цветом.

Если в нашем примере ввести в колонке Количество значение, равное 3000, то производится расчёт путём интерполяции с участием расценок СБЦ11-4-1-68 (для объекта производительностью 2000 м 3 /сут) и СБЦ11-4-1-69 (для объекта производительностью 5000 м 3 /сут). Формула расчёта:
С = А1 + (А2 — А1)/(Х2 — Х1)*(Хзад — Х1), где
А1 и А2 – постоянная величина A для участвующих расценок;
Х1 и Х2 – основной показатель проектируемого объекта для участвующих расценок;
Хзад – заданный показатель проектируемого объекта.

Описанная в данном пункте методика интерполяции и экстраполяции с участием двух табличных значений реализована исключительно для групповых расценок, где приведено только значение постоянной величины А. При этом существует возможность и в таких случаях производить расчёт по базовым формулам, описанным в предыдущем пункте. Переключение между двумя способами расчёта осуществляется при помощи кнопки Интерполировать в окне с дополнительной информацией о позиции на закладке Стоимости.