Darbe.ru

Быт техника Дарби
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Двое играют в следующую игру

Двое играют в следующую игру

Теория игр. Разбираем задания №19, 20 и 21.

Задание №19. Умение анализировать алгоритм логической игры.
Задание №20. Умение найти выигрышную стратегию игры.
Задание №21. Умение построить дерево игры по заданному алгоритму и найти выигрышную стратегию.
Уровень сложности — повышенный, максимальный балл за выполнение каждого задания — 1, общее время на выполнение трёх заданий — 22 минуты.

№19. Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или четыре камня либо увеличить количество камней в куче в пять раз. Например, имея кучу из 15 камней, за один ход можно получить кучу из 16, 19 или 75 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 73.

Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу, в которой будет 73 или больше камней.

В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 72.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока – значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника.

Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом. Назовите минимальное значение S, при котором это возможно.

Разбор задания №19. Из условия мы знаем, что Петя не может выиграть своим первым ходом, но Ваня, независимо от хода Пети, выигрывает. Петя парень не глупый и, естественно, сделает самый маленький ход – добавит в кучу один камень (S+1), чтобы Ваня от выигрыша был как можно дальше. Далее Ваня делает свой первый ход и выигрывает. Ване необходимо максимально увеличить предыдущее значение камней в куче, следовательно, Ваня увеличивает количество камней в куче в пять раз (S+1)*5. Теперь просто решаем неравенство:

Ответ: 14.

№20. Для игры, описанной в предыдущем задании, укажите два таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

  • Петя не может выиграть за один ход;
  • Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в порядке возрастания.

Разбор задания №20. Здесь мы должны найти два значения S – наибольшее и наименьшее. Начнём с наибольшего (это проще). По условию Петя не выигрывает своим первым ходом, но он же его делает! Следовательно, Петя ходит минимальный ход, чтобы Ваня был максимально далёк от победы (S+1). Далее ходит Ваня, а он тоже парень не глупый и старается не дать Пете победить и делает минимальный ход (S+1)+1. Теперь Петя делает максимально возможный ход, чтобы победить – он увеличивает предыдущее значение камней в куче в пять раз ((S+1)+1)*5. Решаем неравенство:

Теперь определим наименьшее значение S. Мы только что определили, что при S = 13 Петя делает свой ход и количество камней в куче становиться равным 14. То есть из этой позиции Петя точно выигрывает, независимо от того, как будет ходить Ваня. А как ещё после первого хода Пети в куче можно получить количество камней равное 14? По условию мы можем добавить один камень или четыре или увеличить их количество в пять раз. Четырнадцать на пять не делится (камни у нас целые числа), а вот отнять от четырнадцати четыре можно. Следовательно, 14 – 4 = 10. Это минимальное количество камней в куче, при котором Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Читайте так же:
Игра пятница 13 системные требования на пк

Ответ: 1013.

№21. Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

  • у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
  • у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Разбор задания №21. При решении этого задания мы будем опираться на уже известные нам данные, полученные из предыдущего задания. Мы знаем, что при S = 10 Петя выигрывает, а по условию должен выиграть Ваня своим вторым ходом, следовательно, достаточно уменьшить это значение на единицу: 10 – 1 = 9. После первого хода Петя увеличивает количество камней на один 9 + 1 = 10, далее Ваня увеличивает количество камней в куче на четыре 10 + 4 = 14. Позиция 14 – это выигрышная позиция, нам это известно из предыдущих заданий.

14. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР

14.1. Матричные игры с нулевой суммой. Минимакс. Теория игр занимается разработкой различного рода рекомендаций по принятию решений в условиях конфликтной ситуации. Формализуя конфликтные ситуации математически, их можно представить как игру двух, трех и более игроков, каждый из которых преследует цель максимизации своего выигрыша за счет другого игрока.

Под термином «игра» понимается совокупность предварительно оговоренных правил и условий, а термин «партия» связан с частичной возможной реализацией этих правил. Если п партнеров (игроков) Р1, Р2, . Рп участвуют в данной игре, то основное содержание теории игр состоит в изучении следующей проблемы: как должен вести партию j-й партнер (j=1, …, п) для достижения наиболее благоприятного для себя исхода?

В дальнейшем предполагается, что в конце партии каждый игрок Pj получает сумму vj, называемую выигрышем. При этом подразумевается, что каждый игрок руководствуется лишь целью максимизации общей суммы выигрыша. Числа vj (j=1, …, п) могут быть положительными, отрицательными или равными нулю. Если vjgt;0, то это соответствует выигрышу j-гo игрока, если vjlt;0, – проигрышу, при vj=0 – ничейный исход.

В большинстве случаев имеем игры с нулевой суммой, т. е. v1+v2+. +vn=0. В этих играх сумма выигрыша переходит от одного партнера к другому, не поступая из внешних источников. Игра с нулевой суммой предусматривает, что сумма выигрышей всех игроков в каждой партии равна нулю. Примерами игры с нулевой суммой служат многие экономические задачи. В них общая сумма выигрыша перераспределяется между игроками, но не меняется.

Игры, в которых участвуют два игрока, называются парными, а игры с большим числом участников – множественными. Принятие игроком того или иного решения в процессе игры и его реализация называется ходом. Ходы могут быть личные и случайные. Если ход выбирается сознательно, – это личный ход, а если с помощью механизма случайного выбора, – случайный ход.

Шахматы являются игрой двух партнеров с конечным числом личных ходов. В дальнейшем мы будем рассматривать игры двух партнеров с нулевой суммой и конечным числом возможных ходов. Такие игры математически глубоко проработаны и вызывают наибольший интерес, поскольку чаще используются в практических приложениях.

В зависимости от количества стратегий игры делятся на конечные и бесконечные. Так, в конечной игре каждый из игроков имеет конечное число возможных стратегий. Если же хотя бы один из игроков имеет бесконечное число возможных стратегий, то игра называется бесконечной.

В зависимости от взаимоотношений игроков игры делятся на кооперативные, коалиционные и бескоалиционные. Если игроки не имеют права вступать в соглашения, то такая игра относится к бескоалиционным, если же игроки могут вступать в соглашения, создавать коалиции, – к коалиционным. Кооперативная игра – это такая игра, в которой заранее определены коалиции.

Читайте так же:
Игра про клубок ниток unravel

В зависимости от вида функции выигрышей игры подразделяются на матричные, биматричные, непрерывные, выпуклые, сепарабельные и т.д. Мы будем рассматривать матричные игры. Обратимся к примерам простейших матричных игр.

Пример 1. Первый игрок А выбирает одну из двух сторон монеты. Второй игрок В, не зная выбора первого, также выбирает одну из сторон. После того как оба игрока произвели свой выбор и монета брошена, игрок А платит 1 игроку В, если выбранные стороны монеты совпали, и -1 в противном случае. Здесь 1 соответствует выигрышу игроком А одной единицы, а -1 соответствует проигрышу им одной единицы. В этом предположении мы говорим, что А играет на максимум, а В – на минимум.

строки которой соответствуют возможным стратегиям для А, а столбцы – возможным стратегиям для В. Как только А выбирает строку и В – столбец, партия заканчивается и выигрыш игрока А равен числу, стоящему на пересечении выбранных строки и столбца.

Пример 2 («игра в три пальца»). Игроки А и В одновременно и независимо друг от друга показывают 1, 2 или 3 пальца. Размер выигрыша определяется общим количеством показанных пальцев. При этом, если число пальцев четное, выигрывает игрок А, нечетное, – игрок В.

Такую игру двух игроков можно представить в виде матрицы

=,

где индекс i элементов аij (i,j=1,2,3) означает количество пальцев игрока А, а индекс j – количество пальцев игрока В. Например, а13 означает, что одновременно и независимо друг от друга игрок А показал 1 палец, а игрок В – 3 пальца. Количество пальцев для элемента а13=4 указывает на выигрыш 4 единиц игроком А. Элемент а32=-5 указывает на проигрыш 5 единиц игроком А или выигрыш 5 единиц игроком В.

Мы рассмотрели примеры матричных игр 2-го и 3-го порядков. В общем случае матричная игра задается прямоугольной матрицей размерности m?п.

А=.

Каждый элемент аij матрицы является действительным числом и представляет собой сумму выигрыша, уплачиваемую игроком В игроку А, если А выбирает стратегию, соответствующую i-й строке, а В выбирает стратегию, соответствующую j-му столбцу.

Двое играют в следующую игру

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или три камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, имея кучу из 12 камней, за один ход можно получить кучу из 13, 15 или 24 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 40. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 40 или больше камней.

В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 39.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника.

Выполните следующие задания. Во всех случаях обосновывайте свой ответ.

а) Укажите все такие значения числа S, при которых Петя может выиграть в один ход. Обоснуйте, что найдены все нужные значения S, и укажите выигрывающий ход для каждого указанного значения S.

б) Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом. Опишите выигрышную стратегию Вани.

Укажите два таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём (а) Петя не может выиграть за один ход и (б) Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Для каждого указанного значения S опишите выигрышную стратегию Пети.

Читайте так же:
Игра за девушку от 3 лица

Укажите значение S, при котором:

у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети, и у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Для указанного значения S опишите выигрышную стратегию Вани. Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии Вани (в виде рисунка или таблицы). На рисунке на рёбрах дерева указывайте, кто делает ход; в узлах — количество камней в куче.

Содержание верного ответа

а) Петя может выиграть в один ход, если S = 20, . 39. Во всех этих случаях достаточно удвоить количество камней, после чего их количество станет больше 39, и игра закончится. При значениях S, меньших 20, за один ход нельзя получить кучу, количество камней в которой будет не менее 40.

б) Ваня может выиграть первым ходом (при любой игре Пети), если S = 19. Тогда после первого хода Пети в куче будет 20, 22 или 38 камней. После этого Ваня удваивает количество камней и выигрывает в один ход.

При S = 16 или S = 18 у Пети есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть своим вторым ходом. В этих случаях Петя не может выиграть первым ходом (см. п. 1а)). Однако он может получить кучу из 19 камней, добавив в кучу один камень (при S = 18) или три камня (при S = 16). После этого хода Петя попадает в ситуацию, разобранную в п. 16) для Вани, то есть у игрока, делающего следующий ход (у Вани), нет хода, сразу приводящего его к выигрышу, а у Пети выигрышный ход «удвоить количество камней» есть независимо от того, какой ход сделал Ваня.

При S = 15 у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом. После первого хода Пети в куче будет 16, 18 или 30 камней. Если в куче станет 30 камней, то Ваня удвоит количество камней и выиграет своим первым ходом. Если после первого хода Пети в куче оказалось 16 или 18 камней, то Ваня попадает в ситуацию, разобранную в п. 2 для Пети, и у него есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть своим вторым ходом.

В таблице представлено дерево возможных партий при описанной выигрышной стратегии Вани. На рисунке это же дерево изображено в графическом виде. Заключительные позиции, в которых выигрывает Ваня, подчёркнуты. Приведены все возможные ходы Пети и ходы, отвечающие выигрышной стратегии Вани.

Двое играют в следующую игру

  • Войти
  • Регистрация
  • Главная
  • ЕГЭ
    • Вопросы и ответы
    • Перевод баллов
    • Соответствие заданий
    • Программирование
      • Типы данных Pascal
      • Математические функции
      • Логические операции
      • Приоритет операций
      • Законы логики
      • О системах счисления
      • Перевод чисел
      • Таблица триад и тетрад
      • Досрочный-2016
      • Демо-2016
      • Досрочный-2015
      • Алгебра логики
      • Вариант 1
      • Вариант 2
      • Вариант 3
      • Вариант 4
      • Вариант 5
      • Вариант 6
      • Вариант 7
      • Вариант 8
      • Вариант 9
      • Вариант 10
      • Степени двойки
      • IP, маска и адрес сети
      • Решатор 5
      • Решатор 13

      Два игрока, Петя и Ваня, играют в игру. Перед ними лежит куча камней. Игроки ходят по очереди. Первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень, три камня, или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того, чтобы сделать ход, у игроков имеется неограниченное количество камней.

      Игра завершается, когда количество камней в куче превышает 46. Победителем становится игрок, сделавший последний ход, и получивший в куче 46 или более камней. В начальный момент в куче было S камней, 1≤ S ≤ 45.

      Последовательно решите следующие задания:

      1. При каких S: а) Петя выигрывает первым ходом; б) Ваня выигрывает первым ходом при любой игре Пети.
      2. Назовите три значения S, при которых Петя может выиграть своим вторым ходом при любой игре Вани.
      3. Назовите такое значение S, при котором Ваня может выиграть своим первым или вторым ходом при любой игре Пети.

      Данная задача решается последовательно. Решив первый пункт, мы легко можем решить следующий. Начнем с пункта 1а.

      1а. При каких S Петя выигрывает первым ходом.

      Игрок выигрывает в том случае, когда количество камней в куче больше или равно 46. Самый сильный ход, который может сделать Петя — увеличить количество камней в куче в два раза. Получается, что минимальная выигрышная S будет равна:

      То есть при S= <23..45>Петя выигрывает первым ходом, просто умножив эти числа на два. Будем считать, что позиции S= <23..45>— выигрышные, то есть любой игрок, у которого в куче появилось 23 или более камней выиграет.

      1б. При каких S Ваня выигрывает первым ходом при любой игре Пети.

      Мы знаем, что позиции 23..45 — выигрышные, значит Ваня может выиграть в том случае, если у Пети не останется другой возможности, кроме как сделать своим первым ходом количество камней в куче равным 23..45.

      Самый слабый ход, который может сделать Петя — увеличить количество камней на один. Получается, что при S=22 Петя сделает выигрышную позицию для Вани:

      22 + 1 = 23 — Ваня выиграет следующим ходом

      22 + 3 = 25 — Ваня выиграет следующим ходом

      22 * 2 = 44 — Ваня выиграет следующим ходом

      То есть при S=22 Ваня выиграет, а Петя — проиграет. Будем считать, что позиция S=22 — проигрышная для любого игрока, кому она попадётся.

      2. Назовите три значения S, при которых Петя может выиграть своим вторым ходом при любой игре Вани.

      Мы знаем, что позиция S=22 проигрышная, Петя ходит первым и он должен выиграть. То есть он должен сделать для Вани проигрышную позицию, то есть количество камней в куче после его хода должно стать равным 22. При том, что у Пети есть три возможных хода (+1, +3, *2), Петя может получить 22 камня в куче из следующих позиций S:

      То есть Петя выиграет при S = 21, 19, 11, сделав количество камней в куче равным 22. Будем считать, что позиции 21, 19, 11 выигрышные для любого игрока, у которого они появятся.

      3. Назовите все значения S, при которых Ваня может выиграть своим первым или вторым ходом при любой игре Пети.

      Из пункта 2 решения мы знаем, что позиции 21, 19, 11 обеспечивают победу игроку вторым ходом. То есть мы должны найти такое S, чтобы у Пети не было другой возможности, кроме как сделать количество камней в куче равным или 21, или 19, или 11, или чтобы их количество было в диапазоне .

      Очевидно, что это число 18. При любой игре Пети Ваня получит выигрышную позицию:

      Разбор задания по информатике ЕГЭ 2021

      ЕГЭ в 2021 году по информатике включает три задания на нахождение выигрышной ситуации при игре с кучами камней. Это задание №19 с использованием двух вариантов хода, задание №20 с использованием трех вариантов хода и задание №21 с использованием четырех вариантов хода. В данной статье рассматриваются различные методы решения задания №19 с использованием двух вариантов хода.

      Первый метод заключается в простом выборе правильной стратегии исходя из начальных условий. Рассмотрим пример:

      Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в два раза . Например, пусть в одной куче 10 камней, а в другой 5 камней; такую позицию в игре будем обозначать (10, 5). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (11, 5), (20, 5), (10, 6), (10, 10). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

      Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 77. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 77 или больше камней.

      В начальный момент в первой куче было семь камней, во второй куче — S камней; 1 ≤ S ≤ 69.

      Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, т. е. не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.

      Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S , когда такая ситуация возможна. (Демоверсия 2021 г.)

      Выполним простые рассуждения: После хода Пети возможны варианты количества камней в кучах: (8, S), (7,S+1), (16,S) и (7,2S). Петя сходил неудачно, после чего Ваня выиграл. Неудачным можно назвать только ход (7,2S), так как он потенциально позволит максимально увеличить суммарное число камней в кучах после удвоения кучи 2S. После хода Вани получится неравенство 7+4S>=77, отсюда S>=17,5. Минимальным будет 18. Ответ 18.

      Рассмотрим пример когда была только одна куча. Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может

      добавить в кучу один камень или увеличить количество камней в куче в два раза .

      Например, имея кучу из 10 камней, за один ход можно получить кучу из 11 или из 20 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней.

      Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче превышает 53. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 54 или больше камней.

      В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 53.

      Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы следующего стратегии игрока, которые не являются для него безусловно выигрышными.

      Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S , когда такая ситуация возможна.

      ( Вариант № 7973655 , https://inf-ege.sdamgia.ru/test?id=7973655 )

      После хода Пети возможна ситуация при которой число камней в куче будет S+1 или 2S. Петя походил неудачно и Ваня выиграл. Неудачным можно считать только ход 2S, т.к. ход S+1 не даст минимальное значение S для выигрыша Вани. После хода «ударного» хода Вани согласно условия 4S >=54, отсюда S>=13,5, следовательно минимальное S=14. Ответ 14.

      Таким образом задание №19 по информатике не требует строгой алгоритмизации метода решения и является достаточно простым. Требуемое решение можно найти простыми логическими рассуждениями.

      голоса
      Рейтинг статьи
Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector