Загрузка...Десятичный логарифм
Десятичный логарифм
Алгебраические свойства [ править | править код ]
В нижеследующей таблице предполагается, что все значения положительны [1] :
| Формула | Пример | |
|---|---|---|
| Произведение | lg ( x y ) = lg ( x ) + lg ( y ) | lg ( 10000 ) = lg ( 100 ⋅ 100 ) = lg ( 100 ) + lg ( 100 ) = 2 + 2 = 4 |
| Частное от деления | lg ( x y ) = lg ( x ) − lg ( y ) | lg ( 1 1000 ) = lg ( 1 ) − lg ( 1000 ) = 0 − 3 = − 3 |
| Степень | lg ( x p ) = p lg ( x ) | lg ( 10000000 ) = lg ( 10 7 ) = 7 lg ( 10 ) = 7 |
| Корень | lg x p = lg ( x ) p >> | lg 1000 = 1 2 lg 1000 = 3 2 = 1 , 5 |
Существует очевидное обобщение приведённых формул на случай, когда допускаются отрицательные переменные, например:
Формула для логарифма произведения без труда обобщается на произвольное количество сомножителей:
Вышеописанные свойства объясняют, почему применение логарифмов (до изобретения калькуляторов) существенно облегчало вычисления. Например, умножение многозначных чисел x , y
- Найти в таблицах логарифмы чисел x , y
. - Сложить эти логарифмы, получая (согласно первому свойству) логарифм произведения x ⋅ y
. - По логарифму произведения найти в таблицах само произведение.
Деление, которое без помощи логарифмов намного более трудоёмко, чем умножение, выполнялось по тому же алгоритму, лишь с заменой сложения логарифмов на вычитание. Аналогично производились возведение в степень и извлечение корня.
Связь десятичного и натурального логарифмов [2] :
Знак логарифма зависит от логарифмируемого числа: если оно больше 1, логарифм положителен, если оно между 0 и 1, то отрицателен. Пример:
Чтобы унифицировать действия с положительными и отрицательными логарифмами, у последних целая часть (характеристика) надчёркивалась сверху:
Мантисса логарифма, выбираемая из таблиц, при таком подходе всегда положительна.
Функция десятичного логарифма [ править | править код ]
Функция монотонно возрастает, непрерывна и дифференцируема всюду, где она определена. Производная для неё даётся формулой:
Применение [ править | править код ]
Логарифмы по основанию 10 до изобретения в 1970-е годы компактных электронных калькуляторов широко применялись для вычислений. Как и любые другие логарифмы, они позволяли многократно упростить и облегчить трудоёмкие расчёты, заменяя умножение на сложение, а деление на вычитание; аналогично упрощались возведение в степень и извлечение корня. Но десятичные логарифмы обладали преимуществом перед логарифмами с иным основанием: целую часть логарифма числа x
- Если x ⩾ 1
, то [ lg x ] на 1 меньше числа цифр в целой части числа x . Например, сразу очевидно, что lg 345 находится в промежутке ( 2 , 3 ) . - Если 0 < x < 1
, то ближайшее к lg x целое в меньшую сторону равно общему числу нулей в x перед первой ненулевой цифрой (включая ноль перед запятой), взятому со знаком минус. Например, lg 0,001 4 0014> находится в интервале ( − 3 , − 2 ) .
Отсюда следует, что для вычисления десятичных логарифмов достаточно составить таблицу логарифмов для чисел в диапазоне от 1
Поскольку применение логарифмов для расчётов с появлением вычислительной техники почти прекратилось, в наши дни десятичный логарифм в значительной степени вытеснен натуральным [5] . Он сохраняется в основном в тех математических моделях, где исторически укоренился — например, при построении логарифмических шкал.
| Число | Логарифм | Характеристика | Мантисса | Запись |
|---|---|---|---|---|
| n | lg(n) | C | M = lg(n) − C | |
| 5 000 000 | 6.698 970. | 6 | 0.698 970. | 6.698 970. |
| 50 | 1.698 970. | 1 | 0.698 970. | 1.698 970. |
| 5 | 0.698 970. | 0.698 970. | 0.698 970. | |
| 0.5 | −0.301 029. | −1 | 0.698 970. | 1 .698 970. |
| 0.000 005 | −5.301 029. | −6 | 0.698 970. | 6 .698 970. |
Обратите внимание, что у всех приведенных в таблице чисел n
История [ править | править код ]
Первые таблицы десятичных логарифмов опубликовал в 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс для чисел от 1 до 1000, с восемью (позже — с четырнадцатью) знаками. Поэтому за рубежом десятичные логарифмы часто называют бригсовыми. Но в этих и в последующих изданиях таблиц обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Георга Веги (1783) появилось только в 1852 году в Берлине (таблицы Бремикера) [6] .
В России первые таблицы логарифмов были изданы в 1703 году при участии Л. Ф. Магницкого [7] . В СССР выпускались несколько сборников таблиц логарифмов [8] :
Функция LOG в Microsoft Excel
Одним из востребованных математических действий при решении учебных и практических задач является нахождение логарифма из заданного числа по основанию. В Экселе для выполнения данной задачи существует специальная функция, которая называется LOG. Давайте поподробнее узнаем, как её можно применять на практике.
Использование оператора LOG
Оператор LOG относится к категории математических функций. Его задачей является вычисление логарифма указанного числа по заданному основанию. Синтаксис у указанного оператора предельно простой:
Как видим, функция располагает всего двумя аргументами.
Аргумент «Число» представляет собой число, из которого нужно вычислить логарифм. Он может принимать вид числового значения и являться ссылкой на ячейку, его содержащую.
Аргумент «Основание» представляет собой основание, по которому будет вычисляться логарифм. Он тоже может иметь, как числовой вид, так и выступать в виде ссылки на ячейку. Данный аргумент не является обязательным. Если он опущен, то считается, что основание равно нулю.
Кроме того, в Экселе существует ещё одна функция, позволяющая вычислять логарифмы – LOG10. Её главное отличие от предыдущей в том, что она может вычислять логарифмы исключительно по основанию 10, то есть, только десятичные логарифмы. Её синтаксис ещё проще, чем у ранее представленного оператора:
Как видим, единственным аргументом данной функции является «Число», то есть, числовое значение или ссылка на ячейку, в которой оно расположено. В отличие от оператора LOG у этой функции аргумент «Основание» вообще отсутствует, так как принимается, что основание обрабатываемых ею значений равно 10.
Способ 1: применение функции LOG
Теперь давайте рассмотрим применение оператора LOG на конкретном примере. Имеем столбец числовых значений. Нам нужно вычислить из них логарифм по основанию 5.
- Выполняем выделение первой пустой ячейки на листе в колонке, в которую планируем выводить итоговый результат. Далее щелкаем по пиктограмме «Вставить функцию», которая располагается возле строки формул.
В поле «Число» в нашем случае следует ввести адрес первой ячейки того столбца, в котором находятся исходные данные. Это можно сделать, вписав его в поле вручную. Но существует и более удобный способ. Устанавливаем курсор в указанном поле, а затем щелкаем левой кнопкой мыши по ячейке таблицы, содержащей нужное нам числовое значение. Координаты данной ячейки тут же отобразятся в поле «Число».
В поле «Основание» просто вписываем значение «5», так как оно будет одинаково для всего обрабатываемого числового ряда.
Способ 2: применение функции LOG10
Теперь давайте рассмотрим пример использования оператора LOG10. Для примера возьмем таблицу с теми же исходными данными. Но теперь, понятное дело, предстоит задача вычислить логарифм чисел, расположенных в столбце «Исходные данные» по основанию 10 (десятичный логарифм).
- Производим выделение первой пустой ячейки столбца «Логарифм» и щелкаем по пиктограмме «Вставить функцию».
Применение функции LOG позволяет в Экселе просто и быстро посчитать логарифм от указанного числа по заданному основанию. Этот же оператор может посчитать и десятичный логарифм, но для указанных целей более рационально использовать функцию LOG10.
Мы рады, что смогли помочь Вам в решении проблемы.
Помимо этой статьи, на сайте еще 12447 инструкций.
Добавьте сайт Lumpics.ru в закладки (CTRL+D) и мы точно еще пригодимся вам.
Отблагодарите автора, поделитесь статьей в социальных сетях.
Опишите, что у вас не получилось. Наши специалисты постараются ответить максимально быстро.
Лабораторная работа №7
Тема. Мастер функций в MS Excel.
Цель. Приобрести и закрепить практические навыки по применению функций категории Математические с использованием Мастера функций.
Задание 1. Создать и заполнить таблицу алгебраических функций, показанную на рисунке.
| A | B | C | D | E | F | G | H |
| Число | Десятичный логарифм | Натуральный логарифм | Корень | Квадрат | Куб | Показательная функция | Факториал |
Алгоритм выполнения задания.
- В ячейках А1:Н1 записать шапочки таблицы с предварительным форматированием ячеек, для этого:
Выделить диа пазон ячеек А1:Н1.
Выполнить команду Правой кнопкой мыши/Формат Ячеек/Выравнивание.
Установит переключатель «переносит по словам».
В поле «по горизонтали» выбрать «по центру».
В поле «по вертикали» выбрать «по центру».
Набрать тексты шапочек, подбирая по необходимости ширину столбцов вручную.
- Записать в графу Число ряд чисел, начиная с 0:
В ячейки А2 и А3 записать 0 и 1.
Выполнить операцию Автозаполнение до числа 15.
- Заполнить графу Десятичный логарифм следующим образом:
Выделить ячейку В2, вызвать Мастер функций, выбрать категорию математические, выбрать функцию LOG10.
В поле Число ввести адрес А2 с клавиатуры или, отодвинув диалоговое окно функции за любое место серого поля, щелкнуть ячейку А2.
Выполнить операцию Автозаполнение для всего столбца.
Примечание. В ячейке В2 должно быть #ЧИСЛО!, т. к. логарифм 0 не существует.
- Заполнить графу Натуральный логарифм аналогично, выбрав функцию LN.
- Заполнить графу Корень аналогично, выбрав функцию КОРЕНЬ.
- Графы Квадрат и Куб заполнить следующим образом:
Выбрать функцию СТЕПЕНЬ.
В поле Число ввести адрес А2.
В поле Степень ввести 2 для квадратичной функции или 3 для кубической.
- Заполнить графу Показательная функция следующим образом:
Выбрать функцию СТЕПЕНЬ.
В поле Число ввести 2.
В поле степень ввести адрес А2.
- Заполнить графу Факториал аналогично пю3, выбрав функцию ФАКТР.
Примечание. Любую функцию можно записать с клавиатуры, точно соблюдая текст названия функции и её синтаксис, применяемый в Мастере функций.
Задание 2. Создать и заполнить таблицу тригонометрических функций, показанную на рисунке.
- Заполнить графу Угол, град.числами от 0 до 180, используя операцию Автозаполнение.
- Заполнить графу Угол, радианзначениями, применив функцию РАДИАНЫ.
- Заполнить графы Синус, Косинус, Тангенс, применяя функции SIN, COS, TAN. В качестве аргумента выбирать значения угла в радианах.
Примечание. В некоторых ячейках значения записываются в экспоненциальной форме, например, запись 1,23Е-16 означает, что число 1, 23 возводится в степень минус 16, что даёт число, очень близкое к нулю, а запись 1,23Е+16 означает возведение числа 1,23 в степень плюс 16.
Как применять функции Excel?
Каждая функция имеет следующую базовую структуру: ФУНКЦИЯ (аргумент1; аргумент2; …).
ФУНКЦИЯ — это непосредственное название функции, которое всегда вводится заглавными буквами. При этом вам не обязательно использовать заглавные буквы при вводе функции, Excel автоматически произведет необходимую конвертацию.
Элементы, которые вводятся в скобках и разделяются точкой с запятой, — это аргументы функции. Аргументы — это входные значения функции — информация, необходимая для работы функции. В отношении аргументов функции делятся на два типа:
- Без аргументов — множество функций вообще не требуют аргументов для работы. Например, функция =СЕГОДНЯ() возвращает текущую дату и не требует ввода аргументов.
- С одним или более аргументом — большинство функций требуют как минимум 1 аргумент, а некоторые из них даже 9 или 10 аргументов. Аргументы делятся на обязательные и опциональные. Обязательные аргументы должны присутствовать в необходимом количестве в скобках, иначе Excel сгенерирует ошибку. Опциональные, или необязательные, аргументы вы можете использовать по мере необходимости.
Рассмотрим пример. Функция LOG() вычисляет значение логарифма по заданному основанию. Вот ее структура: LOG (число; основание), число — это необходимое значение для вычисления логарифма; основание — необязательный параметр, указывает основание, по которому происходит вычисление логарифма (по умолчанию параметр равен 10).
Это называется синтаксисом функции. Слова, выделенные курсивом, на практике означают необходимость подстановки в данное место реального значения. При этом аргументы, выделенные жирным шрифтом, являются обязательными для ввода. Все остальные аргументы (не выделенные), стоящие, как правило, после обязательных аргументов, требуют ввода не всегда, а только когда это необходимо. В случае, когда вы их не вводите. Excel подставляет на их место значения по умолчанию.
Будьте внимательны при вводе опциональных аргументов. В случае если функция требует более одного из них, но вам необходимо отделить запятыми все необязательные аргументы до вводимого.
Не забывайте вводить в качестве аргументов только корректные значения. Например, нельзя вычислить логарифм отрицательного числа. В качестве адгументов могут вводиться любые из следующих значений:
- Арифметические значения
- Выражения
- Ссылки на ячейки
- Имена диапазонов
- Массивы
- Результаты работы других функций
Функция работает на основе входных данных и возвращает результат. Например, на рис. 4.1 находится пример расчета общей стоимости инвестиций на основе периодических затрат и процентной ставки с помощью функции =БС . Выходные значения — процентная ставка, количество периодов и периодические затраты — задаются с помощью ячеек D2, D3 и D4.
Рис. 4.1. Пример работы функции
Различные функции всегда используются как часть формулы в ячейке. Таким образом, даже если вы используете в качестве формулы саму функцию, она все равно должна начинаться со знака равенства. Вне зависимости от того, является ли функция частью большой формулы или используется независимо, вы должны следовать следующим правилам:
- Вы можете задавать название функции маленькими или заглавными буквами. Excel всегда конвертирует названия к заглавным буквам.
- Всегда заключайте аргументы функции в скобки.
- Всегда разделяйте аргументы точками с запятой (вы можете при этом использовать пробелы для улучшения читаемости формул).
- Вы всегда можете использовать функцию как аргумент для другой функции. Например, функция =СРЗНАЧ(СУММ(A1:A10);СУММ(В1:В10)) вычисляет сумму чисел в двух колонках и возвращает среднее значение из двух сумм.
При вводе функции Excel автоматически предложит вам завершить ввод одной из функций, начинающейся на вводимые буквы (см. рис. 4.2).
Рис. 4.2. Автоматическое завершение ввода функции
При этом вы сможете перемещаться по предложенному списку функций (получая при этом краткое описание каждой текущей функции). После перемещения на необходимую функцию нажмите на клавишу Tab клавиатуры для автоматического заполнения функциями в строки ввода.
Рис. 4.3. Подсказка с указанием текущего аргумента для ввода
После нажатия на Tab или непосредственного ввода функции, при вводе первой раскрывающейся кавычки Excel выведет на экран подсказку в виде синтаксиса функции. Текущий аргумент для ввода будет выделен жирным шрифтом — см. рис. 4.3. Когда вы закончите ввод аргумента и введете точку с запятой, Excel переместит подсказку на следующий аргумент.
Лабораторная посуда химика — тоже вещь непостоянная. Сколько радости и слез дарит она, пока чей-нибудь неуклюжий локоть не превратит ее одним движением в осколки — осколки надежд… А ведь когда-то стекло было предметом роскоши, и такая хрупкость считалась его достоинством. Однажды, как гласит легенда, к римскому императору Тиберию явился некто и принес подарок. Это была изготовленная им небьющаяся бутылка, и гость продемонстрировал ее уникальные свойства, ударив оземь. Император с восторгом проделал то же самое — бутылка не разбилась. И тогда, уточнив у гостя, нет ли еще у кого-нибудь такой игрушки, он тут же повелел несчастного казнить. Так исчез секрет получения первого ударопрочного стекла. Сегодня буквально из стекла строятся умопомрачительные небоскребы, сверкают витрины торговых центров, стены, двери и даже пол с потолком. Стекло повсюду! Многое можно сделать из этого прозрачного материала. Главное, как сохранить хрупкую красоту?
Десятичный логарифм в excel
Функция Excel- это заранее определенная формула, которая работает с одним или несколькими значениями и возвращает результат.
Функции в Excel используются для выполнения стандартных вычислений в рабочих книгах. Значения, которые употребляются для вычисления функций, называются аргументами. Значения, возвращаемые функциями в качестве ответа, называются результатами.
Чтобы использовать функцию, нужно ввести ее как часть формулы в ячейку рабочего листа. Последовательность, в которой должны располагаться применяемые в формуле символы, называется синтаксисом функции.
Все функции используют одинаковые основные правила синтаксиса. Если Вы нарушите правила синтаксиса, Excel выдаст сообщение о том, что в формуле имеется ошибка.
Правила синтаксиса при записи функций:
Если функция появляется в самом начале формулы, ей должен предшествовать знак равенства, как обычно в начале формулы.
Аргументы функции записываются в круглых скобках сразу за названием функции и отделяются друг от друга символом точка с запятой «;». Скобки позволяют определить, где начинается и где заканчивается список аргументов. Внутри скобок должны располагаться аргументы. Помните о том, что при записи функции должны присутствовать открывающая и закрывающая скобки, при этом не следует вставлять пробелы между названием функции и скобками.
В качестве аргументов можно использовать числа, текст, логические значения, массивы, значения ошибок или ссылки. Аргументы могут быть как константами, так и формулами. В свою очередь эти формулы могут содержать другие функции. Функции, являющиеся аргументами другой функции, называются вложенными. В формулах Excel можно использовать до семи уровней вложенности функций.
Задаваемые входные параметры должны иметь допустимые для данного аргумента значения. Некоторые функции могут иметь необязательные аргументы, которые могут отсутствовать при вычислении значения функции.
При вводе функций пользуются мастером функций или вкладкой Формулы. В данном окне отображаются следующие категории:
Рис. 2.1. Список категорий функций.
Категория. Служит для отображения списка всех категорий, которым назначены различные функции. Выберите категорию для просмотра соответствующих функций в поле списка, расположенном ниже. Для открытия окна Мастера функций используйте кнопку Вставить функцию. Для просмотра всех функций в алфавитном порядке без учёта категории выберите Полный алфавитный перечень.
Рис. 2.2. Окно Мастера функций
Функция. Служит для отображения функций, соответствующих выбранному типу. Чтобы выбрать функцию, дважды щёлкните её. Если щёлкнуть функцию один раз, отображается её краткое описание.
Поля ввода аргументов. При двойном щелчке по функции в правой части диалогового окна отображается поле (или поля) ввода аргумента. Для выбора в качестве аргумента ссылки на ячейку щёлкните по ячейке или перетащите требуемый диапазон на листе, удерживая левую кнопку мыши. В поле можно также ввести числовые и другие значения, либо ссылки. Для вставки полученного результата в электронную таблицу нажмите кнопку «ОК».
Рис. 2.3. Поле ввода аргументов
Свернуть / Развернуть Щёлкните значок Свернуть , чтобы уменьшить диалоговое окно до размера поля ввода. После этого легче отметить нужную ссылку на листе. Потом значок автоматически превращается в значок Развернуть. Щёлкните его, чтобы восстановить исходные размеры диалогового окна.
Диалоговое окно будет автоматически свернуто, если щёлкнуть мышью внутри листа. После отпускания кнопки мыши диалоговое окно будет восстановлено, и диапазон ссылок, определенный с помощью мыши, будет выделен в документе мигающей пунктирной рамкой.
Результат функции. После ввода аргументов для функции выполняется расчёт результатов.
Существуют следующие категории функций в Excel:
– Функции, определенные пользователем.
К математическим относят около 80 функций. Полный перечень функций представлен тут.
Мат емати-ческая функция
Возвращает абсолютное значение числа
=ABS(-56) возвращает значение 56
Служит для сложения всех чисел в диапазоне ячеек
=СУММ(В1:В20; F 1: F 20) суммирует все значения ячеек В1:В20 и F 1: F 20
Возвращает 3,14159265358979 — значение математической константы «пи» до 14 знаков после запятой
Возвращает положительный квадратный корень числа
=КОРЕНЬ(16) возвращает значение 4
= КОРЕНЬ(-16) возвращает ошибку недопустимый аргумент
Возвращает кубический корень числа
=(-27)^(1/3)возвращает значение -3
Вычисляет результат возведения числа в степень
=СТЕПЕНЬ(5;3) возвращает значение 125
Служит для преобразования радианов в градусы
=ГРАДУСЫ(ПИ()) возвращает 180 градусов
Преобразует градусы в радианы
=РАДИАНЫ(90) возвращает значение 1,5707963267949
Возвращает косинус заданного угла (в радианах)
=COS(РАДИАНЫ(60)) возвращает значение 0,5
=COS(PI()/2) возвращает значение 0
Возвращает синус заданного угла (в радианах)
= SIN (РАДИАНЫ(60)) возвращает значение 0
= SIN (PI()/2) возвращает значение 0,5
Возвращает тангенс заданного угла (в радианах)
= TAN (PI()/4) возвращает значение 1, т.е. тангенс пи/4 радиан.
Вычисляет арккосинус числа
=ACOS(-1) возвращает значение3,141592 (ПИ())
Возвращает арксинус числа
=ASIN(0) возвращает значение 0
Возвращает арктангенс числа
=ATAN(1) возвращает значение 0,785398163397448 (пи/4 радиан)
Возвращает экспоненту в указанной степени
=EXP(1) возвращает значение 2,71828182845904, т.е. математическую константу «e»
Возвращает логарифм числа по указанному основанию
=LOG(10;3) возвращает логарифм 10 по основанию 3 (приблизительно 2,0959)
Возвращает натуральный логарифм числа (по основанию e)
LN(3) возвращает натуральный логарифм 3 (около 1,0986)
Возвращает десятичный логарифм числа
=LOG10(5) возвращает десятичный логарифм 5 (приблизительно 0,69897)
Округляет число до указанного количества десятичных разрядов. Цифры, которые меньше 5, с недостатком (вниз), а цифры, которые больше или равны 5, с избытком (вверх)
=ОКРУГЛ(10,6821;1) возвращает число 10,7.
округляет число вниз до ближайшего целого
=ЦЕЛОЕ(10,999) возвращает значение 10.
отбрасывает все цифры справа от десятичной запятой независимо от знака числа
